Сначала изучите: Четырёхугольники, Окружность и круг
Площадь — мера места, которое фигура занимает на плоскости. Она постоянно нужна в практических расчётах: участок земли, пол комнаты, стена под покраску, расход материала. В задачах на площадь знать формулы недостаточно — часто нужно разбить фигуру на части или вычесть «лишние» куски. Здесь решают две идеи: площади треугольников с общей высотой относятся как основания, площади подобных фигур — как k². В этом уроке разобраны свойства площади, формулы для четырёхугольников, треугольника и круга, отношения площадей и составные фигуры.
Площадь измеряют в квадратных единицах: площадь квадрата со стороной 1 см равна 1 см². При переходе между единицами линейный размер возводится в квадрат: 1 м = 100 см, значит 1 м² = 10 000 см²; 1 га = 10 000 м², 1 км² = 100 га.
Основные свойства площади:
Равновеликие фигуры не обязательно равны: прямоугольники 2 × 8 и 4 × 4 имеют одинаковую площадь (16), но сами различны
Все формулы выводятся из площади прямоугольника S = ab: параллелограмм разрезанием и перекладыванием превращается в прямоугольник, треугольник — половина параллелограмма, трапеция — два треугольника.
Прямоугольник S = ab; квадрат S = a² = d²/2
Параллелограмм S = a·hₐ = ab sin α
Ромб S = d₁d₂/2 = a² sin α
Трапеция S = (a + b)/2 · h = m·h
Произвольный выпуклый четырёхугольник S = ½ d₁d₂ sin φ
Формула параллелограмма: если отрезать треугольник у одной вершины и перенести его к противоположной стороне, получится прямоугольник с основанием a и высотой h. Так как h = b sin α, то S = ab sin α. У ромба диагонали перпендикулярны, поэтому φ = 90° и S = d₁d₂/2.
Стороны параллелограмма 8 и 5, угол 30°. Найдите площадь.
Сторона ромба 10, одна диагональ 12. Найдите площадь.
Если известны только сторона и угол, удобнее S = a² sin α: площадь ромба со стороной 10 и углом 30° равна 100 · ½ = 50.
S = ½ a·h = ½ ab sin C, Герон: √(p(p − a)(p − b)(p − c)), S = pr = abc/(4R)
У прямоугольного S = ½ ab (катеты), у равностороннего S = a²√3/4.
Для треугольника, заданного координатами вершин:
S = ½ |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|
Выбирайте формулу по данным: основание и высота — ½ah; две стороны и угол — формула с синусом; три стороны — Герон; координаты — последняя формула.
Найдите площадь треугольника A(1; 1), B(5; 2), C(2; 6).
Эти правила часто позволяют найти площадь, не зная длин. Например, если площадь треугольника ABC равна 30, на AB взята точка M с AM : MB = 1 : 2, а на AC — точка N с AN : NC = 1 : 1, то площадь AMN равна 30 · ⅓ · ½ = 5.
Площадь параллелограмма ABCD равна 64. F лежит на AD, AF/FD = 3; K лежит на AB, AK/KB = 1. Найдите площадь FKCD.
Круг πR², сектор πR²α/360°, кольцо π(R² − r²)
Сегмент = сектор − треугольник
Площадь сектора — доля α/360° площади круга: во сколько раз меньше угол, во столько раз меньше площадь. В радианах: S = R²α/2. Длина окружности C = 2πR — не путайте её с площадью круга.
В круге радиуса 6 найдите площади сектора 60° и соответствующего сегмента.
Стратегия:
Диагонали делят трапецию на 4 треугольника: прилежащие к основаниям подобны (k = a/b), а два боковых равновелики, и площадь каждого — среднее пропорциональное площадей треугольников при основаниях.
Основания трапеции 6 и 10, высота 5. Найдите её площадь и площади треугольников, образованных диагоналями.