Сначала изучите: Точка, прямая, угол
Вектор — направленный отрезок. В физике векторами изображают скорость, силу и перемещение, потому что для них важно не только число (величина), но и направление. В геометрии же метод координат превращает геометрическую задачу в алгебраический расчёт: без чертежа, только по формулам, можно найти расстояние, угол, проверить параллельность и перпендикулярность. В этом уроке разобраны понятие вектора, координаты, действия, скалярное произведение и его применения, а также уравнения прямой и окружности.
Вектор — отрезок, у которого указаны начало и конец: в записи AB⃗ точка A — начало, B — конец. Вектор определяется двумя вещами: длиной (модулем) |AB⃗| и направлением.
Разница между отрезком и вектором: отрезки AB и BA одинаковы, а векторы AB⃗ и BA⃗ — разные.
Если A(x₁; y₁), B(x₂; y₂):
AB⃗ = (x₂ − x₁; y₂ − y₁) — из конца вычитаем начало
Длина: |a⃗| = √(x² + y²); расстояние AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
Середина отрезка: ((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2)
Формула длины — это теорема Пифагора: координаты x и y — катеты, вектор — гипотенуза. В пространстве добавляется третья координата: |a⃗| = √(x² + y² + z²).
Вектор можно записать через единичные векторы: a⃗ = x·i⃗ + y·j⃗, где i⃗(1; 0), j⃗(0; 1) — единичные векторы осей.
A(1; 2), B(4; 6). Найдите координаты и длину AB⃗ и середину AB.
Коллинеарность: a⃗ ∥ b⃗ ⇔ b⃗ = k·a⃗ ⇔ x₁/x₂ = y₁/y₂ (координаты пропорциональны)
С помощью этих действий доказываются геометрические факты: например, четвёртая вершина параллелограмма находится по формуле D = A + C − B, так как AD⃗ = BC⃗.
a⃗(2; −4) и b⃗(−3; k) коллинеарны. Найдите k.
a⃗ · b⃗ = |a⃗||b⃗| cos φ = x₁x₂ + y₁y₂
cos φ = (a⃗ · b⃗)/(|a⃗||b⃗|); перпендикулярность: a⃗ · b⃗ = 0
|a⃗|² = a⃗ · a⃗
Результат — число (не вектор). Равенство двух определений следует из теоремы косинусов. Знак скалярного произведения показывает вид угла: положительное — острый, ноль — прямой, отрицательное — тупой. В физике работа силы A = F⃗ · s⃗ — скалярное произведение.
a⃗(3; k) и b⃗(2; −6) перпендикулярны. Найдите k.
A(1; 1), B(4; 5), C(5; −2). Найдите угол A треугольника ABC.
Если координаты не даны, а известны только длины и угол, возводим выражение в квадрат и пользуемся свойствами скалярного произведения:
|a⃗ ± b⃗|² = |a⃗|² ± 2a⃗·b⃗ + |b⃗|²
Формула похожа на формулу сокращённого умножения и по сути является теоремой косинусов для диагоналей параллелограмма.
|a⃗| = 5, |b⃗| = 4, угол между ними 60°. Найдите |5a⃗ − b⃗|.
Окружность: (x − a)² + (y − b)² = R², центр (a; b)
Прямая: y = kx + b; параллельны — k₁ = k₂, перпендикулярны — k₁k₂ = −1
Уравнение окружности — множество точек, удалённых от центра на R (формула расстояния). Вектор n⃗(a; b) перпендикулярен прямой ax + by + c = 0 (вектор нормали). В уравнении окружности общего вида выделяют полные квадраты и находят центр и радиус.
Найдите центр и радиус окружности x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0.
Напишите уравнение прямой, проходящей через M(1; 2) перпендикулярно прямой y = 2x + 3.