Прямые и плоскости в пространстве

Стереометрия изучает фигуры в пространстве: взаимное расположение точек, прямых и плоскостей, расстояния и углы между ними. Главная трудность — «увидеть» чертёж: рисунок на бумаге искажает пространство, прямые углы изображаются острыми или тупыми. Но пространственную задачу почти всегда можно свести к одному или нескольким плоским прямоугольным треугольникам. Эта тема даёт правила такого сведения и служит фундаментом для многогранников, тел вращения и метода координат.

§1. Аксиомы и задание плоскости

Основные понятия стереометрии — точка, прямая, плоскость — не определяются, их свойства задаются аксиомами:

• Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.
• Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости.
• Если две плоскости имеют общую точку, они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Из аксиом следуют ещё три способа задать плоскость: через прямую и точку вне её, через две пересекающиеся прямые, через две параллельные прямые проходит одна плоскость. Поэтому стол на трёх ножках никогда не качается, а на четырёх — может.

§2. Взаимное расположение

Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости, поэтому не пересекаются и не параллельны. Такое бывает только в пространстве. Угол между скрещивающимися прямыми — угол между одной из них и прямой, проведённой параллельно другой через точку первой. Расстояние между ними — длина общего перпендикуляра.

Пример

Как расположены рёбра AB и CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁? Найдите угол и расстояние между ними (ребро a).

1. AB лежит в плоскости основания, CC₁ пересекает её в точке C, не лежащей на AB, — прямые скрещиваются.
2. CC₁ ∥ BB₁, BB₁ ⊥ AB, значит угол 90°.
3. BC перпендикулярен обеим прямым и пересекает обе — общий перпендикуляр.
4. Расстояние: BC = a.

§3. Параллельность

Важные свойства:

• Две параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым — на этом основано построение сечений.
• Отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями равны.
• Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой (и в пространстве).

Зачем нужны две пересекающиеся прямые? Одной параллельной прямой недостаточно: и у пересекающихся плоскостей есть прямые, параллельные линии их пересечения.

§4. Перпендикулярность

• Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны.
• Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то плоскости перпендикулярны.

Теорема о трёх перпендикулярах — главный инструмент для расстояния от точки до прямой: перпендикуляр не ищем на чертеже, а находим через проекцию.

Пример

ABCD — квадрат со стороной 4, MA перпендикулярна его плоскости, MA = 3. Найдите расстояние от M до прямой CD.

1. MD — наклонная, AD — её проекция.
2. AD ⊥ CD (квадрат), по теореме о трёх перпендикулярах MD ⊥ CD.
3. Значит, искомое расстояние — MD.
4. MD = √(3² + 4²) = 5.

§5. Расстояния и углы

• Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра. Наклонная l, перпендикуляр h, проекция p: l² = h² + p².
• Угол между прямой и плоскостью — угол между прямой и её проекцией: sin φ = h/l, cos φ = p/l.
• Двугранный угол измеряется линейным углом — углом между перпендикулярами к ребру, проведёнными в обеих гранях из одной точки.

Пример

Наклонная 10, расстояние от точки до плоскости 6. Найдите проекцию и угол.

1. p = √(100 − 36) = 8.
2. sin φ = h/l = 6/10 = 0,6.

Пример (официальный образец)

Отрезок AB не пересекает плоскость; AA₁ = 2, BB₁ = 7 — расстояния от концов до плоскости. Найдите расстояние от точки, делящей AB в отношении 3 : 2, считая от A.

1. Перпендикуляры параллельны, AA₁B₁B — трапеция.
2. Перпендикуляр из точки деления им параллелен, расстояние меняется линейно.
3. 2 + (7 − 2)·3/5 = 2 + 3 = 5.

Пример

MA перпендикулярна плоскости квадрата ABCD со стороной 6, MA = 6. Найдите угол между плоскостями MCD и ABC.

1. Ребро — CD. AD ⊥ CD, по теореме о трёх перпендикулярах MD ⊥ CD.
2. Линейный угол — ∠MDA.
3. tg ∠MDA = MA/AD = 6/6 = 1.
4. Ответ: 45°.

§6. Расстояния в кубе и прямоугольном параллелепипеде

Куб — самая удобная «лаборатория» стереометрии: все его рёбра попарно либо параллельны, либо перпендикулярны, либо скрещиваются, поэтому любую теорему можно проверить на нём.

Формула диагонали получается двукратным применением теоремы Пифагора: сначала диагональ основания √(a² + b²), затем треугольник с этой диагональю и высотой c в качестве катетов.
Угол между диагональю куба и плоскостью основания: проекция диагонали — диагональ основания a√2, высота a, поэтому tg φ = a/(a√2) = 1/√2 (φ ≈ 35,3°).

Пример

В кубе с ребром 2 найдите расстояние от вершины B₁ до диагонали AC.

1. BB₁ ⊥ основанию, проекция B₁ — точка B.
2. Перпендикуляр из B к AC — отрезок до точки пересечения диагоналей квадрата O: BO = a√2/2 = √2.
3. По теореме о трёх перпендикулярах B₁O ⊥ AC.
4. B₁O = √(BB₁² + BO²) = √(4 + 2) = √6.

Проверьте себя

1. Сколько плоскостей проходит через три точки, не лежащие на одной прямой?

2. Точка удалена от плоскости на 12, наклонная 13. Найдите проекцию.

3. Концы отрезка длины 10 удалены от плоскости (по одну сторону) на 3 и 9. Расстояние от середины?

4. Наклонная 2√2, её проекция 2. Угол с плоскостью?

5. Как расположены две прямые, перпендикулярные одной плоскости?

6. Ребро куба 4. Расстояние между AB и CC₁?

7. Концы отрезка по разные стороны плоскости, расстояния 3 и 9. Расстояние от середины отрезка до плоскости?

8. Как называются прямые, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются?

Типичные ошибки

• Считать скрещивающиеся прямые параллельными или пересекающимися.
• Думать, что для перпендикулярности плоскости достаточно перпендикулярности одной прямой — нужны две пересекающиеся.
• Измерять угол между прямой и плоскостью через перпендикуляр — он измеряется через проекцию.
• Складывать расстояния вместо вычитания, когда концы отрезка по разные стороны плоскости.
• Брать вместо двугранного угла угол между прямыми, не перпендикулярными ребру.
• Доверять углу на чертеже — в пространственном рисунке прямой угол не выглядит прямым.