Призма, параллелепипед, пирамида

Многогранники — тела, ограниченные плоскими многоугольниками (гранями): кирпич, коробка, кристаллы, пирамиды. Элементы многогранника — грани (многоугольники), рёбра (стороны граней) и вершины. Ключ к работе с ними — найти внутри тела нужный прямоугольный треугольник: высота, апофема, ребро и элементы основания всегда образуют такие треугольники. В этом уроке разберём призму, параллелепипед, пирамиду, правильные многогранники, формулу Эйлера и площади поверхностей; объёмы подробно — в теме «Объёмы».

§1. Призма

Призма — многогранник с двумя равными параллельными основаниями и боковыми гранями-параллелограммами. Каждой стороне основания соответствует одна боковая грань.

• В прямой призме боковые рёбра перпендикулярны основанию, боковые грани — прямоугольники, боковое ребро равно высоте.
• Правильная призма — прямая призма, основание которой — правильный многоугольник.
• В наклонной призме боковое ребро длиннее высоты.

Формула боковой поверхности видна из развёртки: боковые грани прямой призмы, положенные рядом, образуют прямоугольник длиной в периметр основания и шириной в высоту.

Пример

Сторона основания правильной треугольной призмы 4, высота 5. Найдите полную поверхность.

1. Периметр основания 12: S_бок = 12 · 5 = 60.
2. Площадь основания: 4²√3/4 = 4√3.
3. Полная поверхность: 60 + 2 · 4√3 = 60 + 8√3.

Пример

Сторона основания правильной шестиугольной призмы 2, высота 5. Найдите полную поверхность.

1. Периметр основания 12: S_бок = 12 · 5 = 60.
2. Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников: S_осн = 6 · 2²√3/4 = 6√3.
3. S = 60 + 2 · 6√3 = 60 + 12√3.

§2. Параллелепипед и куб

Параллелепипед — призма с основанием-параллелограммом; все шесть его граней — параллелограммы, противоположные грани равны и параллельны. У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямоугольники; его измерения a, b, c:

Формула диагонали — двукратная теорема Пифагора: диагональ основания √(a² + b²), затем по ней и c — пространственная диагональ. Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Пример

Найдите диагональ и полную поверхность параллелепипеда 2 × 3 × 6.

1. d = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7.
2. S = 2(2·3 + 3·6 + 2·6) = 2(6 + 18 + 12) = 72.

§3. Пирамида

Пирамида — многогранник, основание которого многоугольник, а боковые грани — треугольники с общей вершиной. В правильной пирамиде основание — правильный многоугольник, а основание высоты — центр основания; поэтому все боковые рёбра равны и все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

• Апофема l — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из вершины.
• Высота h, апофема l, радиус вписанной в основание окружности r: l² = h² + r².
• Высота h, боковое ребро b, радиус описанной около основания окружности R: b² = h² + R².

Почему именно r и R? Основание апофемы — середина стороны основания, она на расстоянии r от центра; основание бокового ребра — вершина основания, она на расстоянии R.

Пример

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды 6, высота 4. Найдите полную поверхность.

1. Радиус вписанной в квадрат окружности r = 3.
2. Апофема: l = √(16 + 9) = 5.
3. S_бок = ½ · 24 · 5 = 60.
4. S = 60 + 36 = 96.

Пример

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды 12, боковое ребро 10. Найдите высоту и апофему.

1. Половина диагонали квадрата: R = 12√2/2 = 6√2.
2. h = √(100 − 72) = √28 = 2√7.
3. Апофема из боковой грани: l = √(10² − 6²) = 8.

§4. Правильные многогранники

Правильный многогранник — выпуклый многогранник, все грани которого — равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число рёбер. Их всего пять:

• тетраэдр — 4 треугольные грани (4 вершины, 6 рёбер);
• куб (гексаэдр) — 6 квадратов (8 вершин, 12 рёбер);
• октаэдр — 8 треугольников (6 вершин, 12 рёбер);
• додекаэдр — 12 пятиугольников (20 вершин, 30 рёбер);
• икосаэдр — 20 треугольников (12 вершин, 30 рёбер).

Почему только пять? В каждой вершине выпуклого многогранника сумма плоских углов должна быть меньше 360°. Треугольных граней (60°) в вершине может сходиться 3, 4 или 5 (180°, 240°, 300°), квадратов (90°) — только 3, пятиугольников (108°) — только 3. У шестиугольника 3 · 120° = 360° — это уже плоскость. Всего 3 + 1 + 1 = 5 возможностей.
Высота правильного тетраэдра с ребром a: h = a√(2/3); расстояние от центра основания до вершины основания R = a/√3, h² = a² − a²/3 = 2a²/3.

§5. Формула Эйлера и сечения

Для куба: 8 − 12 + 6 = 2; для октаэдра: 6 − 12 + 8 = 2. Формула помогает находить неизвестное число элементов.
Правила построения сечений: плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам; стороны многоугольника сечения лежат в гранях.

Пример

Куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 2 рассечён плоскостью через точки A, C, C₁. Найдите площадь сечения.

1. Плоскость проходит через диагональ AC и ребро CC₁ ∥ AA₁, значит, A₁ тоже лежит в ней — сечение ACC₁A₁.
2. AA₁ ⊥ AC, поэтому сечение — прямоугольник со сторонами AC = 2√2 и AA₁ = 2.
3. Площадь: 2√2 · 2 = 4√2.

Проверьте себя

1. Полная поверхность куба с ребром 3.

2. Диагональ куба с ребром 2.

3. Сколько рёбер у шестиугольной призмы?

4. Сколько рёбер у шестиугольной пирамиды?

5. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды 8, апофема 5. Высота?

6. Диагональ параллелепипеда 3 × 4 × 12.

7. У многогранника 12 вершин и 30 рёбер. Сколько у него граней?

8. Высота правильного тетраэдра с ребром 6.

Типичные ошибки

• Путать апофему с боковым ребром.
• Использовать R в треугольнике с апофемой и r в треугольнике с боковым ребром — должно быть наоборот.
• Прибавлять основания к боковой поверхности или забывать их в полной.
• Ограничиваться двумя измерениями для диагонали параллелепипеда.
• Путать числа вершин, рёбер и граней у призмы и пирамиды.
• Принимать боковое ребро наклонной призмы за высоту.