Сначала изучите: Призма, параллелепипед, пирамида
Тела вращения получаются вращением плоской фигуры вокруг оси: прямоугольник вокруг стороны даёт цилиндр, прямоугольный треугольник вокруг катета — конус, полукруг вокруг диаметра — шар. Эти тела встречаются повсюду: банка, труба, воронка, мяч. Удобнее всего изучать их через осевое сечение: плоская фигура, которая получается при сечении тела плоскостью через ось, показывает все его размеры и превращает пространственную задачу в планиметрическую. В этом уроке основное внимание — площадям поверхностей; объёмы подробно разобраны в теме «Объёмы».
Цилиндр — тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из сторон. Два его основания — равные круги радиуса R, высота h — расстояние между основаниями. Ось вращения проходит через центры оснований; вращаемая сторона называется образующей, в прямом цилиндре она равна высоте.
Осевое сечение — прямоугольник со сторонами 2R и h. Если осевое сечение — квадрат, то h = 2R, и цилиндр называют равносторонним.
Если разрезать боковую поверхность вдоль образующей и развернуть на плоскость, получится прямоугольник: одна сторона — длина окружности основания 2πR, другая — h. Поэтому:
Боковая поверхность S_бок = 2πRh
Полная поверхность S = 2πRh + 2πR² = 2πR(R + h)
Объём V = πR²h
В полную поверхность входят оба основания — это чаще всего забывают.
Осевое сечение цилиндра — квадрат со стороной 6. Найдите боковую и полную поверхность.
Конус получается вращением прямоугольного треугольника вокруг катета. Катет-ось — высота h, другой катет — радиус основания R, гипотенуза — образующая l. По теореме Пифагора:
l² = R² + h²
Осевое сечение — равнобедренный треугольник с основанием 2R и боковыми сторонами l. Если осевое сечение равностороннее, то l = 2R.
Если разрезать боковую поверхность вдоль образующей и развернуть, получится круговой сектор: его радиус l, а дуга равна длине окружности основания 2πR. По формуле площади сектора lR/2 (длина дуги × радиус / 2):
Боковая поверхность S_бок = πRl; полная S = πR(R + l)
Развёртка — сектор радиуса l с углом φ = 360° · R/l
Объём V = πR²h/3
Формула угла развёртки следует из равенства 2πR = πlφ/180°. Так как R < l, угол всегда меньше 360°.
У конуса R = 3, h = 4. Найдите образующую, боковую и полную поверхность и угол развёртки.
Если рассечь конус плоскостью, параллельной основанию, и отбросить верхушку, останется усечённый конус. Его основания — круги радиусов R и r, высота h, образующая l. Осевое сечение — равнобедренная трапеция с основаниями 2R и 2r. Из трапеции:
l² = h² + (R − r)²
Боковая поверхность S_бок = π(R + r)l; полная S = π(R + r)l + πR² + πr²
Формулу легко проверить: при r = 0 получается формула конуса πRl, при r = R — формула цилиндра 2πRl.
Радиусы оснований усечённого конуса 5 и 2, высота 4. Найдите полную поверхность.
Шар — все точки, удалённые от центра не более чем на R; сфера — поверхность шара, то есть точки ровно на расстоянии R. Шар получается вращением полукруга вокруг диаметра.
Площадь сферы S = 4πR²; объём шара V = 4πR³/3
Сечение плоскостью — круг радиуса r = √(R² − d²) (d — расстояние от центра до плоскости)
Формула сечения — это теорема Пифагора: радиус шара — гипотенуза, d и r — катеты. Сечение через центр — большой круг (r = R), самое большое сечение. Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания — как касательная к окружности.
Интересный факт (Архимед): площадь сферы равна площади четырёх больших кругов.
Шар радиуса 13 рассечён плоскостью на расстоянии 5 от центра. Найдите площадь сечения.
В задачах на комбинации тел тоже помогает осевое сечение:
Цилиндр, описанный около шара: S_цил : S_сферы = 6πR² : 4πR² = 3 : 2
Из цилиндрического бревна длиной 6 м и радиусом 5 дм вытесали прямоугольный брус наибольшего объёма. Найдите объём бруса и долю отходов (π ≈ 3).
У конуса R = 3, h = 4. Найдите радиус вписанного шара.