Объёмы и поверхности тел

Объём — величина части пространства, занимаемой телом; он измеряется в кубических единицах: см³, дм³ (литр), м³. Задачи на объём постоянно встречаются на практике: сколько литров воды вмещает сосуд, сколько бетона нужно для стройки, сколько деталей можно отлить из металла. Формулы делятся на два больших семейства: «цилиндрические» тела (призма, цилиндр) — V = S·h, «заострённые» тела (пирамида, конус) — V = ⅓ S·h. Поняв эту связь, половину формул вы запомните автоматически. Урок продолжает темы «Многогранники» и «Тела вращения».

§1. Основные свойства объёма

Объём обладает следующими свойствами:

• равные тела имеют равные объёмы;
• если тело разбито на части, его объём равен сумме объёмов частей;
• объём куба с ребром 1 равен 1 (единица измерения).

Второе свойство — главный инструмент для сложных тел: разбиваем тело на простые части или, наоборот, вычитаем лишнее из большого тела.
При переводе единиц линейная единица возводится в куб:

Пример

В кубе с ребром 4 через центры противоположных граней просверлено цилиндрическое отверстие радиуса 1. Найдите объём оставшейся части.

1. Объём куба: 4³ = 64.
2. Отверстие — цилиндр радиуса 1 и высоты 4: π · 1² · 4 = 4π.
3. По свойству вычитания объёмов: V = 64 − 4π.

§2. Призма и цилиндр

Почему «основание × высота»? Если разрезать призму на очень тонкие слои по высоте, каждый слой равен основанию, а число слоёв пропорционально высоте. Основание может быть любым — треугольник, шестиугольник или круг, — формула та же. В наклонной призме h — не боковое ребро, а перпендикулярное расстояние между основаниями.
Эта идея называется принципом Кавальери: если при сечении двух тел любой плоскостью, параллельной основанию, площади сечений равны, то равны и объёмы тел. Поэтому объём наклонной призмы равен объёму прямой призмы с тем же основанием и высотой — как не меняется объём сдвинутой стопки монет.

Пример

Сторона основания правильной треугольной призмы 6, высота 10. Найдите объём.

1. Основание — равносторонний треугольник: S = a²√3/4 = 36√3/4 = 9√3.
2. V = S·h = 9√3 · 10 = 90√3.

Пример

Радиус основания цилиндрической бочки 3 дм, высота 10 дм. Сколько литров воды она вмещает (π ≈ 3,14)?

1. V = πR²h = 3,14 · 9 · 10 = 282,6 дм³.
2. 1 дм³ = 1 л, значит, около 282,6 литра.

§3. Пирамида и конус

Призма (цилиндр) с тем же основанием и высотой имеет объём в 3 раза больше, чем пирамида (конус). Это видно и на опыте: водой из конического сосуда цилиндр с тем же основанием и высотой наполняется ровно за три раза. Геометрически отрезки от центра куба к его вершинам разбивают куб на шесть равных пирамид — отсюда множитель ⅓.
Для правильного тетраэдра с ребром a: V = a³√2/12.

Пример

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды 6, высота 4. Найдите объём.

1. Основание — квадрат: S = 36.
2. V = ⅓ · 36 · 4 = 48.

Пример

У конуса R = 3, h = 4. Найдите объём.

1. Площадь основания πR² = 9π.
2. V = ⅓ · 9π · 4 = 12π.

§4. Усечённая пирамида и усечённый конус

Пирамида, у которой отсечена верхушка плоскостью, параллельной основанию, — усечённая пирамида. Площади оснований S₁ и S₂, высота h:

Вторая формула получается из первой подстановкой S₁ = πR², S₂ = πr². Если формулу не помните, усечённое тело можно посчитать как «большая пирамида минус малая».

Пример

Радиусы оснований усечённого конуса 3 и 1, высота 3. Найдите объём.

1. R² + Rr + r² = 9 + 3 + 1 = 13.
2. V = ⅓ π · 3 · 13 = 13π.

§5. Шар

Результат Архимеда: объём шара, вписанного в цилиндр, составляет 2/3 объёма цилиндра. Проверим: для шара радиуса R цилиндр имеет радиус R и высоту 2R, V_цил = 2πR³, (4/3)πR³ : 2πR³ = 2/3.
В задачах на уровень воды при погружении тела объём вытесненной воды равен объёму тела (закон Архимеда).

Пример (уровень воды)

Шар радиуса 3 полностью погрузили в воду в цилиндрическом сосуде радиуса 6. На сколько поднимется уровень воды?

1. Объём шара: (4/3)π · 27 = 36π.
2. Поднявшийся слой воды — цилиндр радиуса 6 и высоты Δh: π · 36 · Δh.
3. 36π · Δh = 36π → Δh = 1.

§6. Подобные тела и переплавка

Если все линейные размеры тела изменить в k раз:

Причина: площадь — произведение двух размеров, объём — трёх. Например, если радиус шара увеличить в 2 раза, объём вырастет в 8 раз, площадь поверхности — в 4 раза.
При переплавке (или переливании жидкости) объём сохраняется, меняется только форма.

Пример

Куб с ребром 3 переплавили в кубики с ребром 1. Сколько кубиков получилось и во сколько раз выросла площадь поверхности?

1. Объём сохраняется: 27 : 1 = 27 кубиков.
2. Исходная поверхность: 6 · 9 = 54; новая: 27 · 6 = 162.
3. Поверхность выросла в 162 : 54 = 3 раза.

Проверьте себя

1. Объём куба с ребром 4.

2. Полная поверхность куба объёмом 27.

3. Объём цилиндра с R = 2, h = 3.

4. Объём конуса 12π, радиус 3. Найдите высоту.

5. Объём пирамиды с площадью основания 15 и высотой 8.

6. Высоты двух подобных конусов относятся как 2 : 3. Отношение объёмов?

7. Объём шара радиуса 3.

8. Объём правильного тетраэдра с ребром 6.

Типичные ошибки

• Забывать ⅓ в объёме пирамиды и конуса.
• Писать в объёме шара R² — должно быть R³.
• Считать, что объёмы подобных тел меняются в k или k² раз — объём меняется в k³ раз.
• Неверно переводить единицы: 1 м³ = 1000 дм³, а не 100; 1 дм³ = 1 л.
• Брать в наклонной призме боковое ребро вместо высоты.
• Подставлять сторону вместо площади основания (для квадратного основания нужно a², а не a).