Производная и её применения

Производная измеряет скорость изменения функции. С её помощью составляют уравнение касательной, находят промежутки возрастания и убывания, экстремумы, наибольшие и наименьшие значения, вычисляют скорость и ускорение движения. На экзамене требуется безошибочно применять таблицу производных и правила.

§1. Определение и смысл

Если аргумент изменился на Δx, функция изменится на Δf = f(x₀ + Δx) − f(x₀). Δf/Δx — средняя скорость изменения. Её предел при Δx → 0 — производная:

• Геометрический смысл: f′(x₀) — угловой коэффициент касательной к графику в точке x₀: f′(x₀) = tg α.
• Физический смысл: если путь s(t), то скорость v(t) = s′(t), ускорение a(t) = v′(t) = s″(t).

Пример

Точка движется по закону s(t) = t³ − 2t² + 3 (м). Найдите скорость и ускорение при t = 2 с.

1. v(t) = 3t² − 4t, v(2) = 12 − 8 = 4 м/с.
2. a(t) = 6t − 4, a(2) = 8 м/с².

§2. Таблица производных и правила

Правила (u, v — функции, C — число):

Пример

Найдите производную f(x) = (x + 1)/(x − 1).

1. u = x + 1, v = x − 1, u′ = v′ = 1.
2. f′ = ((x − 1) − (x + 1))/(x − 1)² = −2/(x − 1)².

§3. Производная сложной функции

Если внутри функции стоит другая функция — «производная внешней умножается на производную внутренней»:

Образцы:

• ((3x − 1)⁵)′ = 5(3x − 1)⁴·3 = 15(3x − 1)⁴;
• (sin²x)′ = 2sin x·cos x = sin 2x;
• (e²ˣ)′ = 2e²ˣ;
• (ln(x² + 1))′ = 2x/(x² + 1);
• (√(1 − x²))′ = −2x/(2√(1 − x²)) = −x/√(1 − x²).

§4. Уравнение касательной

Касательная проходит через точку (x₀; f(x₀)) и имеет угловой коэффициент f′(x₀):

Если касательная должна быть параллельна прямой y = kx + b, то x₀ находят из уравнения f′(x₀) = k.

Пример

Составьте уравнение касательной к графику f(x) = x² − 3x + 1 в точке x₀ = 2.

1. f(2) = 4 − 6 + 1 = −1.
2. f′(x) = 2x − 3, f′(2) = 1.
3. y = −1 + 1·(x − 2) = x − 3.

Пример

В какой точке графика f(x) = x² − 3x касательная параллельна y = 5x + 1?

1. f′(x) = 2x − 3 = 5 → x₀ = 4.
2. f(4) = 16 − 12 = 4. Точка (4; 4).

§5. Исследование функции: монотонность и экстремумы

• Критические точки — где f′ = 0 или f′ не существует.
• Если f′ меняет знак с + на − — максимум, с − на + — минимум. Если знак не меняется — экстремума нет.
• Через вторую производную: f′(x₀) = 0 и f″(x₀) > 0 — минимум, f″(x₀) < 0 — максимум. Например, для f(t) = t⁴ − 2t² + 1: f′(1) = 0, f″(1) = 8 > 0 — t = 1 точка минимума.

Наибольшее/наименьшее значение на отрезке: сравниваем значения в критических точках внутри отрезка и на его концах.

Пример

Исследуйте f(x) = x³ − 3x² + 2 и найдите наибольшее и наименьшее значения на [−1; 3].

1. f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2); критические точки 0 и 2.
2. Знаки: на (−∞; 0) +, на (0; 2) −, на (2; +∞) +.
3. x = 0 — максимум, f(0) = 2; x = 2 — минимум, f(2) = 8 − 12 + 2 = −2.
4. Концы: f(−1) = −1 − 3 + 2 = −2, f(3) = 27 − 27 + 2 = 2.
5. На отрезке: наибольшее 2, наименьшее −2.

§6. Физический смысл: скорость, ускорение и касательная с заданным наклоном

Производная — это скорость изменения. Если точка движется по прямой и её координата в момент t равна s(t), то первая производная даёт мгновенную скорость, а вторая — ускорение:

• v(t) > 0 — точка движется в положительном направлении, v(t) < 0 — движется обратно, v(t) = 0 — в этот момент останавливается (направление может измениться).
• Путь и перемещение — разные величины: если точка поворачивает назад, путь равен сумме модулей перемещений на каждом участке.
• Не только в физике: если V(t) — объём воды в баке, то V′(t) — скорость наполнения; если C(x) — стоимость x изделий, то C′(x) — примерная стоимость ещё одного изделия.

Типичный вопрос на геометрический смысл — касательная, параллельная данной прямой. У параллельных прямых угловые коэффициенты равны, поэтому точку касания находят из уравнения f′(x₀) = k, а затем применяют формулу касательной из §4. Например, касательная к y = x² − 3x, параллельная y = x + 5: 2x − 3 = 1 → x₀ = 2, f(2) = −2, касательная y = x − 4.

Пример

Точка движется по закону s(t) = t³ − 6t² + 9t (м). Когда она останавливается, каково ускорение в эти моменты и какой путь она проходит за [0; 3]?

1. v(t) = s′(t) = 3t² − 12t + 9 = 3(t − 1)(t − 3); v = 0 при t = 1 и t = 3 с.
2. a(t) = v′(t) = 6t − 12; a(1) = −6 м/с², a(3) = 6 м/с².
3. Координаты: s(0) = 0, s(1) = 1 − 6 + 9 = 4, s(3) = 27 − 54 + 27 = 0.
4. На [0; 1] точка проходит 4 м вперёд, на [1; 3] — 4 м назад.
5. Пройденный путь: 4 + 4 = 8 м (а перемещение равно 0).

Проверьте себя

1. Для f(x) = x⁴ − 3x² + 5x найдите f′(1).

2. (cos 3x)′ = ?

3. (x·eˣ)′ = ?

4. Уравнение касательной к y = √x в точке x₀ = 4.

5. s(t) = 2t³ − t. Скорость при t = 1.

6. Точки экстремума и экстремумы f(x) = x³ − 12x.

7. Запишите уравнение касательной к параболе y = x², параллельной прямой y = 4x − 1.

8. s(t) = t³ − 3t². Найдите ускорение при t = 2.

Типичные ошибки

• Забывать производную внутренней функции: (sin 3x)′ = 3cos 3x, а не cos 3x.
• Терять минус в (cos x)′.
• Считать (uv)′ = u′v′.
• Думать, что f′(x₀) = 0 всегда даёт экстремум: у y = x³ точка x = 0 экстремумом не является.
• Искать наибольшее значение на отрезке только в критических точках, не проверяя концы.
• Писать в уравнении касательной x₀ вместо f(x₀).
• Считать путь как s(t₂) − s(t₁), когда точка поворачивает назад: промежуток нужно разбить моментами, где v = 0.