Школьная программа· 40 мин· Вопросов: 2
Сначала изучите: Производная и её применения
Интегрирование — действие, обратное дифференцированию: восстановление функции по известной производной. Определённый интеграл позволяет вычислять площади криволинейных фигур и путь по известной скорости. На экзамене часто встречаются нахождение первообразной, формула Ньютона–Лейбница и вычисление площадей.
Если F′(x) = f(x), то F — первообразная функции f. Например, x³ — первообразная 3x². Но x³ + 5, x³ − 2 тоже первообразные, так как производная константы равна 0. Поэтому записывают множество всех первообразных:
∫f(x)dx = F(x) + C
Свойства:
∫(f ± g)dx = ∫f dx ± ∫g dx, ∫k·f dx = k∫f dx
Любой ответ можно проверить дифференцированием: производная результата должна совпасть с подынтегральной функцией.
Найдите первообразную f(x) = 3x² − 2, график которой проходит через M(1; 3).
∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C (n ≠ −1), ∫dx/x = ln|x| + C
∫sin x dx = −cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C
∫dx/cos²x = tg x + C, ∫dx/sin²x = −ctg x + C
∫eˣdx = eˣ + C, ∫aˣdx = aˣ/ln a + C
Правило линейного аргумента (внутренняя функция kx + b):
∫f(kx + b)dx = F(kx + b)/k + C
Почему делим на k? При дифференцировании F(kx + b) по правилу сложной функции появляется множитель k — его нужно убрать.
Образцы:
Найдите ∫dx/(1 − cos x).
∫ₐᵇf(x)dx = F(b) − F(a)
Определённый интеграл — число (константа C сокращается). Свойства:
∫ₐᵃf dx = 0; при перестановке пределов интеграл меняет знак; ∫ₐᵇf dx = ∫ₐᶜf dx + ∫ᶜᵇf dx
Интеграл нечётной функции по симметричному промежутку равен 0: ∫₋₂² x³dx = 0.
Вычислите ∫₀²(3x² − 2x)dx.
Ещё: ∫₀^(π/2) cos x dx = sin(π/2) − sin 0 = 1; ∫₁ᵉ dx/x = ln e − ln 1 = 1.
Если f(x) ≥ 0, площадь криволинейной трапеции: S = ∫ₐᵇf(x)dx
Между двумя кривыми (f ≥ g): S = ∫ₐᵇ(f(x) − g(x))dx
Алгоритм:
Если график ниже Ox, интеграл отрицателен — для площади берут его модуль. Например, площадь под y = sin x на [0; π]: −cos π + cos 0 = 2.
Найдите площадь фигуры, ограниченной y = x² и y = x + 2.
Если известна скорость v(t), путь за время [t₁; t₂]:
s = ∫ v(t)dt (от t₁ до t₂)
Например, при v(t) = 3t² + 2t путь за первые 2 секунды: t³ + t² |₀² = 8 + 4 = 12 м.
Определённый интеграл не всегда нужно вычислять «в лоб»: его свойства сокращают вычисления и предупреждают многие ошибки. Эти свойства прямо следуют из формулы Ньютона–Лейбница.
∫ₐᵇ(f ± g)dx = ∫ₐᵇf dx ± ∫ₐᵇg dx; ∫ₐᵇk·f dx = k·∫ₐᵇf dx
∫ₐᵃf dx = 0; при перестановке пределов знак интеграла меняется
∫ₐᵇf dx = ∫ₐᵐf dx + ∫ₘᵇf dx — разбиение промежутка на части
Внимание: если интеграл нечётной функции равен нулю, то площадь между графиком и Ox нулю не равна. Для площади сохраняется правило из §4 — часть под Ox берётся по модулю.
Вычислите ∫₋₂²(x³ − 3x + 4)dx и ∫₀³|x − 1|dx.