Предел последовательности и функции

Предел — фундамент математического анализа: и производная, и интеграл определяются через предел. На экзамене в основном встречаются пределы последовательностей, раскрытие неопределённостей 0/0 и ∞/∞ и замечательные пределы. У каждого вида неопределённости свой «ключ» — научимся их узнавать.

§1. Предел последовательности

Если при неограниченном росте n члены aₙ сколь угодно близко подходят к числу A, то A — предел последовательности: lim aₙ = A (n → ∞).

Действия с пределами: предел суммы, разности, произведения и (если предел знаменателя не 0) частного равен сумме, разности, произведению и частному пределов.
Не у всякой последовательности есть предел: (−1)ⁿ поочерёдно равна −1 и 1 — предела нет; n² стремится к бесконечности.

Пример

Найдите lim (3n + 1)/(n + 2) (n → ∞).

1. Делим числитель и знаменатель на n: (3 + 1/n)/(1 + 2/n).
2. 1/n → 0, 2/n → 0.
3. Предел 3/1 = 3.

§2. Предел функции и непрерывность

Если при приближении x к a значения f(x) приближаются к A, то lim f(x) = A (x → a). Само значение f(a) здесь неважно — функция может быть даже не определена в точке a.
Если lim f(x) = f(a), функция f непрерывна в точке a. Многочлены, рациональные функции (где знаменатель не обращается в ноль), корни, показательные и тригонометрические функции непрерывны на своей области определения. Поэтому первый шаг всегда — подставить значение.

Если при подстановке возникает неопределённость вида 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, выражение нужно сначала преобразовать.

Односторонние пределы. x может стремиться к a только слева (x → a − 0) или только справа (x → a + 0). Предел существует, только если оба односторонних предела равны. Например, для f(x) = |x|/x при x → 0 + 0 получаем 1, при x → 0 − 0 — −1; они различны, значит, предела при x → 0 нет. Аналогично 1/x не имеет конечного предела при x → 0: справа она стремится к +∞, слева — к −∞.

§3. Неопределённость 0/0

Если числитель и знаменатель оба обращаются в 0, у них есть общий множитель (x − a). Выделяем и сокращаем его:

• Разложение на множители (для многочленов).
• Умножение на сопряжённое (для корней): √A − B умножаем на √A + B.

Сокращение законно, так как при x → a имеем x ≠ a.

Пример

Найдите lim(x→3)(x² − 5x + 6)/(x² − 9).

1. Подстановка даёт 0/0.
2. x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
3. Сокращаем: (x − 2)/(x + 3).
4. При x = 3: 1/6.

Пример

Найдите lim(x→0)(√(x + 1) − 1)/x.

1. Умножаем на сопряжённое: (x + 1 − 1)/(x(√(x + 1) + 1)) = 1/(√(x + 1) + 1).
2. При x = 0: 1/2.

§4. Неопределённости ∞/∞ и ∞ − ∞

В рациональной дроби делим числитель и знаменатель на старшую степень x. Получается правило:

• lim(x→∞)(3x² + 1)/(x² − 5) = 3.
• lim(x→∞)(2x + 1)/(x² + 1) = 0.

`∞ − ∞`: приводим выражение к дроби — чаще всего умножением на сопряжённое.

Пример

Найдите lim(n→∞)(√(n² + n) − n).

1. Умножаем на сопряжённое: (n² + n − n²)/(√(n² + n) + n) = n/(√(n² + n) + n).
2. Делим на n: 1/(√(1 + 1/n) + 1).
3. Предел 1/(1 + 1) = 1/2.

§5. Замечательные пределы

Следствия первого:

Следствие второго: lim(n→∞)(1 + k/n)ⁿ = eᵏ.

Пример

Найдите lim(x→0) sin 3x/sin 2x.

1. sin 3x/sin 2x = (sin 3x/(3x))·(2x/sin 2x)·(3/2).
2. Первые два множителя стремятся к 1.
3. Ответ: 3/2.

Пример

Найдите lim(n→∞)(1 + 2/n)ⁿ.

1. Пусть m = n/2: (1 + 1/m)²ᵐ = ((1 + 1/m)ᵐ)².
2. Ответ: e².

§6. Применения предела: асимптоты и определение производной

Предел — не самоцель: он описывает поведение графика «на краях» и лежит в основе понятия производной.
Асимптоты. Прямая, к которой график неограниченно приближается, называется асимптотой.

У дробно-рациональной функции вертикальные асимптоты ищем среди нулей знаменателя (если числитель там тоже обращается в нуль, сначала нужно сократить — тогда асимптоты может и не быть). Горизонтальная асимптота находится по правилу для ∞/∞ из §4: при равных степенях числителя и знаменателя b — отношение старших коэффициентов; если степень знаменателя больше, b = 0.
Определение производной. Производная f(x) в точке x₀ — предел отношения приращений:

В этом пределе всегда получается неопределённость 0/0, и она раскрывается способом из §3 — упрощением числителя и сокращением на h. Поэтому уверенное владение пределами нужно, чтобы понимать таблицу производных.

Пример

а) Вычислите lim(h→0) ((2 + h)² − 4)/h. б) Найдите асимптоты функции y = (3x + 1)/(x − 2).

1. а) Подстановка даёт 0/0. Раскрываем числитель: 4 + 4h + h² − 4 = h(4 + h).
2. Сокращаем на h: lim(h→0)(4 + h) = 4. Это значение (x²)′ при x = 2: 2·2 = 4.
3. б) Знаменатель равен нулю при x = 2, а числитель равен 7 ≠ 0, значит, при x → 2 y → ±∞: x = 2 — вертикальная асимптота.
4. Степени равны: lim(x→∞)(3x + 1)/(x − 2) = 3/1 = 3, значит, y = 3 — горизонтальная асимптота.

Проверьте себя

1. lim(n→∞)(5n − 2)/(2n + 7) = ?

2. lim(x→1)(x² − 1)/(x − 1) = ?

3. lim(x→0) sin 4x/(2x) = ?

4. lim(x→∞)(x³ − x)/(2x³ + 5) = ?

5. lim(x→4)(√x − 2)/(x − 4) = ?

6. lim(n→∞)(1 + 3/n)ⁿ = ?

7. lim(h→0) ((3 + h)² − 9)/h = ?

8. Горизонтальная асимптота y = (2x − 1)/(x + 3)?

Типичные ошибки

• Приравнивать 0/0 к 0 или 1 — это не ответ, а неопределённость.
• В ∞/∞ сравнивать только старшие коэффициенты, не проверив равенство степеней.
• Применять замечательный предел при x → ∞: lim(x→∞) sin x/x = 0, а не 1.
• Считать (1 + 1/n)ⁿ равным 1ⁿ = 1 — это неопределённость 1^∞, ответ e.
• Умножая на сопряжённое, забывать умножить и знаменатель.
• Считать каждый нуль знаменателя вертикальной асимптотой: если числитель в этой точке тоже равен нулю, сначала нужно сократить.