Aylanma harakat

Aylanma harakat hamma joyda uchraydi: g‘ildiraklar, tishli uzatmalar, sentrifuga, karusel, Yer atrofidagi sun’iy yo‘ldoshlar, magnit maydondagi elektron. Bu harakatda tezlik moduli o‘zgarmasa ham uning yo‘nalishi doim o‘zgaradi — demak, tezlanish bor va unga sabab bo‘luvchi kuch bor. Mavzu to‘g‘ri chiziqli kinematikaning davomi bo‘lib, dinamika, tortishish, sayyoralar harakati va zaryadning magnit maydondagi harakati masalalari uchun shart.

§1. Aylanma harakatni tavsiflovchi kattaliklar

Eng sodda hol — tekis aylanma harakat: jism aylana bo‘ylab teng vaqtlarda teng yoylar o‘tadi.

• Davr T — bir marta to‘liq aylanish vaqti (s). N ta aylanish t vaqtda bo‘lsa: T = t/N.
• Chastota ν = 1/T = N/t — bir sekunddagi aylanishlar soni (Hz yoki s⁻¹). Texnikada ko‘pincha "minutiga aylanish" ishlatiladi: 1200 ayl/min = 20 Hz.
• Burilish burchagi φ radianda o‘lchanadi: yoy uzunligining radiusga nisbati, φ = l/R. To‘liq aylanish — 2π rad = 360°, 1 rad ≈ 57,3°.
• Burchakli tezlik ω — vaqt birligidagi burilish burchagi:

§2. Chiziqli tezlik

Chiziqli tezlik — nuqtaning aylana bo‘ylab harakat tezligi. U har bir lahzada aylanaga urinma bo‘ylab yo‘nalgan: charxdan uchqunlar, aylanayotgan g‘ildirakdan loy aynan urinma bo‘ylab uchadi.

Bir qattiq jismning (disk, g‘ildirak, Yer) barcha nuqtalari bir xil ω bilan aylanadi, lekin chiziqli tezlik radiusga proporsional: chetdagi nuqta tezroq, o‘qdagi nuqta esa tinch turadi.

Misol

Yer ekvatoridagi nuqtaning chiziqli tezligi va markazga intilma tezlanishi qancha (R = 6,4·10⁶ m, T = 24 h)?

1. T = 24·3600 = 86 400 s.
2. v = 2πR/T = 2·3,14·6,4·10⁶/86 400 ≈ 465 m/s.
3. a = ω²R = (2π/86 400)²·6,4·10⁶ ≈ 0,034 m/s² — g dan 300 martacha kichik, shuning uchun Yer aylanishini deyarli sezmaymiz.

§3. Markazga intilma tezlanish

Tezlik vektori moduli o‘zgarmasa ham, yo‘nalishi doim burilib turadi. Kichik Δt vaqtda tezlik o‘zgarishi Δv⃗ aylana markaziga qarab yo‘nalgan; shuning uchun tezlanish ham markazga yo‘nalgan — markazga intilma (normal) tezlanish:

• Tekis aylanma harakatda bu yagona tezlanish; u tezlikka perpendikulyar va tezlik modulini o‘zgartirmaydi.
• Bir xil v da radius kichik bo‘lsa, tezlanish katta: keskin burilish xavfli.
• Bir xil ω da (bir jismning nuqtalari) tezlanish R ga proporsional.

Agar tezlik moduli ham o‘zgarsa, markazga intilma tezlanishdan tashqari urinma tezlanish a_τ = Δv/Δt paydo bo‘ladi; to‘liq tezlanish a = √(a_n² + a_τ²).

Misol

Radiusi 0,5 m bo‘lgan g‘ildirak 2 s da 4 marta aylanadi. Chetidagi nuqtaning v va a sini toping.

1. T = 2/4 = 0,5 s, ω = 2π/T = 4π ≈ 12,6 rad/s.
2. v = ωR = 4π·0,5 = 2π ≈ 6,3 m/s.
3. a = ω²R = 16π²·0,5 ≈ 79 m/s².

§4. Aylanma harakat dinamikasi

Nyutonning ikkinchi qonuniga ko‘ra markazga intilma tezlanishni markazga yo‘nalgan natijaviy kuch beradi: F = ma = mv²/R. Bu alohida "yangi" kuch emas — uning rolini ip tarangligi, og‘irlik, normal reaksiya, ishqalanish yoki tortishish kuchi bajaradi. "Markazdan qochma kuch" faqat aylanayotgan (noinersial) sanoq sistemasida kiritiladi; inersial sistemada u yo‘q.

Masala sxemasi:

1. Barcha kuchlarni chizing.
2. Markazga yo‘nalgan o‘qqa proyeksiya oling.
3. ΣF_markazga = mv²/R tenglamasini yozing.

Tipik hollar:

• Vertikal tekislikda ipdagi yuk, pastki nuqta: T − mg = mv²/R → T = m(g + v²/R). Yuqori nuqtada: T + mg = mv²/R; ip bo‘shamasligi uchun v ≥ √(gR).
• Qavariq ko‘prik cho‘qqisida: mg − N = mv²/R — avtomobilning ko‘prikka bosimi kamayadi; botiq ko‘prikda ortadi.
• Gorizontal burilish: avtomobilni ishqalanish ushlab turadi: μmg ≥ mv²/R → v_max = √(μgR).
• Yo‘lning qiyaligi: burilishda yo‘l ichkari tomonga qiya qurilsa, normal reaksiyaning gorizontal tashkil etuvchisi ham markazga yo‘naladi va ishqalanishsiz ham xavfsiz o‘tish mumkin: tg α = v²/(gR). Velosipedchi burilishda shu sababli ichkariga egiladi.
• Sun’iy yo‘ldosh: markazga intilma kuch — Yerning tortishish kuchi: GMm/r² = mv²/r, bundan v = √(GM/r).

Misol

1,2 m uzunlikdagi ipga bog‘langan 0,9 kg shar vertikal tekislikda aylanmoqda; pastki nuqtada v = 4 m/s. Ip tarangligi?

1. v²/R = 16/1,2 ≈ 13,3 m/s².
2. T = m(g + v²/R) = 0,9·(10 + 13,3).
3. T = 21 N — og‘irlik kuchidan (9 N) ancha katta.

Misol

Avtomobil radiusi 50 m bo‘lgan gorizontal burilishdan o‘tmoqda, shina va yo‘l orasida μ = 0,5. Eng katta xavfsiz tezlik?

1. Ishqalanish markazga intilma kuchni beradi: μmg = mv²/R.
2. v_max = √(μgR) = √(0,5·10·50) = √250 ≈ 15,8 m/s ≈ 57 km/h.

Sentrifuga va kir yuvish mashinasining siqish rejimi ham shu qonunga asoslangan: baraban tez aylanganda suv tomchilarini kiyimda ushlab turish uchun katta markazga intilma kuch kerak, ilashish kuchi esa yetmaydi — tomchilar urinma bo‘ylab teshiklardan uchib chiqadi.

§5. Uzatmalar va dumalayotgan g‘ildirak

Tasmali yoki tishli uzatmada tasma sirpanmasa, ikki g‘ildirak chetidagi chiziqli tezliklar teng:

Kichik g‘ildirak tezroq aylanadi. Velosiped zanjiri, soat mexanizmi, avtomobil uzatmalar qutisi shu tamoyilda ishlaydi. Bir o‘qqa mahkamlangan g‘ildiraklarda esa burchakli tezliklar teng.

Sirpanmay dumalayotgan g‘ildirak: o‘qi v tezlik bilan ilgarilanma harakatlansa, g‘ildirak o‘qqa nisbatan ω = v/R bilan aylanadi. Yerga tegib turgan nuqta bu lahzada tinch, eng yuqori nuqta esa yerga nisbatan 2v tezlikka ega.

Misol

Tasma bilan ulangan g‘ildiraklar radiuslari 10 cm va 30 cm. Kichigi 6 Hz chastota bilan aylanadi. Kattasining chastotasi?

1. Chetdagi tezliklar teng: ν₁R₁ = ν₂R₂.
2. ν₂ = 6·10/30 = 2 Hz.

O‘zingizni tekshiring

1. Disk minutiga 120 marta aylanadi. Chastota va davr?

2. Soatning minut mili uchidagi nuqtaning burchakli tezligi?

3. Avtomobil 20 m/s bilan radiusi 100 m burilishdan o‘tmoqda. Markazga intilma tezlanish?

4. Radiusi 40 m qavariq ko‘prik cho‘qqisida qaysi tezlikda avtomobil vaznsiz bo‘ladi?

5. 1000 kg avtomobil radiusi 40 m qavariq ko‘prik cho‘qqisidan 10 m/s bilan o‘tmoqda. Ko‘prikka bosim kuchi?

6. Radius 2 marta oshdi, ω o‘zgarmadi. Markazga intilma tezlanish necha marta o‘zgaradi?

7. Dumalayotgan g‘ildirak o‘qi 5 m/s tezlikda. G‘ildirakning eng yuqori nuqtasi yerga nisbatan qanday tezlikda?

8. Tekis aylanma harakatda tezlanish nimaga teng: nolgami?

Ko‘p uchraydigan xatolar

• Tekis aylanishda tezlanish nol deb hisoblash.
• ω ni rad/s o‘rniga ayl/s da qo‘yish, ya’ni 2π ni unutish.
• Pastki nuqtada T = mg − mv²/R deb yozish: ishora noto‘g‘ri, T = mg + mv²/R.
• Tasmali uzatmada burchakli tezliklarni tenglashtirish: tenglashadigani chiziqli tezliklar.
• Inersial sanoq sistemasida "markazdan qochma kuch"ni ham chizib, kuchlarni ikki marta hisoblash.