Mexanik tebranish va to‘lqinlar

Tebranish — vaqt o‘tishi bilan aynan yoki taxminan takrorlanadigan harakat: soat mayatnigi, prujinadagi yuk, avtomobil ressori, yurak urishi, gitara tori. Tebranish muhitda tarqalsa, to‘lqin hosil bo‘ladi. Tebranishlarning formulalari mexanikada, akustikada va elektrotexnikada bir xil ko‘rinishga ega, shuning uchun bu mavzu tovush, o‘zgaruvchan tok, elektromagnit tebranishlar va to‘lqinlar uchun asos.

§1. Tebranishni tavsiflovchi kattaliklar

Tebranish bo‘lishi uchun ikki narsa kerak: jismni muvozanat holatiga qaytaruvchi kuch va inertlik (jism muvozanatdan o‘tib ketadi).

• Amplituda A — muvozanat holatidan eng katta og‘ish (m).
• Davr T — bir to‘liq tebranish vaqti (s): T = t/N.
• Chastota ν = 1/T = N/t — sekunddagi tebranishlar soni (Hz).
• Siklik chastota ω = 2πν = 2π/T (rad/s).
• Faza ωt + φ₀ — tebranishning ayni paytdagi holatini ko‘rsatadi; φ₀ — boshlang‘ich faza.

Bir to‘liq tebranishda jism 4A yo‘l bosadi: muvozanatdan chetga, qaytib muvozanatga, ikkinchi chetga va yana muvozanatga.

§2. Garmonik tebranishlar

Eng muhim hol — garmonik tebranish: koordinata sinus yoki kosinus qonuni bilan o‘zgaradi.

• Tezlik muvozanat nuqtasida eng katta (v_max = Aω), chetki nuqtalarda nol.
• Tezlanish, aksincha, chetlarda eng katta (a_max = Aω²), muvozanatda nol; u doim muvozanat tomonga yo‘nalgan.
• a = −ω²x — garmonik tebranishning "barmoq izi": tezlanish siljishga proporsional va unga qarama-qarshi.

Misol

Jism x = 0,05·cos(10t) (m) qonun bo‘yicha tebranmoqda. Amplituda, davr, eng katta tezlik va tezlanishni toping.

1. Tenglamadan: A = 0,05 m, ω = 10 rad/s.
2. T = 2π/ω = 6,28/10 ≈ 0,63 s.
3. v_max = Aω = 0,05·10 = 0,5 m/s, a_max = Aω² = 0,05·100 = 5 m/s².

§3. Prujinali mayatnik

Prujinaga osilgan yuk muvozanatdan x ga siljisa, unga qaytaruvchi kuch ta’sir qiladi: F = −kx (Guk qonuni). Nyutonning ikkinchi qonunidan ma = −kx, ya’ni a = −(k/m)x — bu garmonik tebranish va ω² = k/m:

• Davr amplitudaga va g ga bog‘liq emas: prujinali mayatnik Oyda ham, kosmik kemada ham bir xil tebranadi.
• Massa 4 marta ortsa, davr 2 marta ortadi; bikrlik 4 marta ortsa, davr 2 marta kamayadi.
• Vertikal prujinada og‘irlik kuchi faqat muvozanat holatini Δl = mg/k ga siljitadi, davrga ta’sir qilmaydi; bundan qulay formula: T = 2π√(Δl/g).

§4. Matematik mayatnik

Matematik mayatnik — cho‘zilmas vaznsiz ipga osilgan moddiy nuqta. Kichik og‘ishlarda (taxminan 10° gacha) qaytaruvchi kuch −mg·x/l ga teng va tebranish garmonik:

• Davr massaga bog‘liq emas, faqat ip uzunligi va g ga bog‘liq; kichik og‘ishlarda amplitudaga ham bog‘liq emas (Galiley kashf etgan izoxronlik).
• Davri 2 s bo‘lgan mayatnik uzunligi taxminan 1 m — eski devor soatlarida shunday mayatniklar bor.
• Liftda tezlanish bilan: yuqoriga — g_ef = g + a, pastga — g − a; boshqa sayyorada g o‘zgaradi.

Mayatnik yordamida g ni aniq o‘lchash mumkin: g = 4π²l/T². Fizik mayatnik (ixtiyoriy qattiq jism, masalan, tebranayotgan chizg‘ich yoki odam oyog‘i) ham tebranadi, lekin uning davri jism shakliga bog‘liq bo‘ladi.

Misol

Uzunligi 0,5 m mayatnik massasi va radiusi Yernikidan 2 marta katta sayyoraga olib borildi. U yerda u 5 m/s² tezlanish bilan yuqoriga ko‘tarilayotgan liftda. Davr qancha?

1. Sayyorada g′ = g·M′R²/(MR′²) = 10·2/2² = 5 m/s².
2. Liftda g_ef = 5 + 5 = 10 m/s².
3. T = 2π√(0,5/10) = 2π·0,224 ≈ 1,4 s.

§5. Energiya, so‘nish va rezonans

Garmonik tebranishda potensial va kinetik energiya bir-biriga o‘tib turadi, to‘liq energiya esa saqlanadi:

Chetki nuqtada butun energiya potensial, muvozanatda — kinetik.

• Erkin tebranish — tizim o‘z holiga qo‘yilganda; uning chastotasi xususiy chastota.
• So‘nuvchi tebranish — ishqalanish va havo qarshiligi tufayli energiya kamayadi, amplituda pasayadi.
• Majburiy tebranish — davriy tashqi kuch ta’sirida; tizim tashqi kuch chastotasi bilan tebranadi.
• Rezonans — tashqi kuch chastotasi xususiy chastotaga teng bo‘lganda amplitudaning keskin ortishi. Askarlar ko‘prikdan qadam tashlab o‘tmasligi, mashina va binolarning tebranishga hisoblanishi shu bilan bog‘liq; musiqa asboblari va radiopriyomnik esa rezonansdan foydali foydalanadi.

Misol

Bikrligi 100 N/m prujinadagi 0,5 kg yuk 10 cm amplituda bilan tebranmoqda. To‘liq energiya va eng katta tezlik?

1. E = kA²/2 = 100·0,1²/2 = 0,5 J.
2. mv_max²/2 = E → v_max = √(2E/m) = √(2·0,5/0,5) = √2 ≈ 1,41 m/s.

§6. Mexanik to‘lqinlar

To‘lqin — tebranishning elastik muhitda tarqalishi: har bir zarra qo‘shnisini tebrantiradi. To‘lqinda energiya ko‘chadi, modda ko‘chmaydi — suvdagi po‘kak to‘lqin bilan suzib ketmaydi, joyida tebranadi.

• Ko‘ndalang to‘lqin: zarralar tarqalish yo‘nalishiga perpendikulyar tebranadi (ipdagi to‘lqin, suv sirtidagi to‘lqin). Ichki qatlamlarda faqat qattiq jismlarda tarqaladi, chunki siljish deformatsiyasi kerak.
• Bo‘ylama to‘lqin: zarralar tarqalish yo‘nalishi bo‘ylab tebranadi, siqilish va siyraklanishlar hosil bo‘ladi (tovush). Barcha muhitlarda tarqaladi.

To‘lqin uzunligi λ — bir xil fazada tebranayotgan eng yaqin nuqtalar orasidagi masofa (ikki qo‘shni do‘nglik yoki ikki qo‘shni siqilish orasi), ya’ni to‘lqin bir davrda bosib o‘tadigan masofa.

To‘lqin tezligi muhit xossalariga bog‘liq, chastota esa manbaga bog‘liq; shuning uchun to‘lqin boshqa muhitga o‘tganda chastota o‘zgarmaydi, to‘lqin uzunligi o‘zgaradi. To‘lqinlar to‘siqdan qaytadi (aks-sado), bir-biriga qo‘shilib kuchayadi yoki susayadi (interferensiya) va to‘siqlarni aylanib o‘tadi (difraksiya).

Misol

To‘lqinning 1- va 3-do‘ngliklari orasidagi masofa 20 cm, to‘lqin tezligi 0,1 m/s. Davr qancha?

1. 1- va 3-do‘nglik orasida ikkita to‘lqin uzunligi bor: 2λ = 0,2 m → λ = 0,1 m.
2. T = λ/v = 0,1/0,1 = 1 s.

O‘zingizni tekshiring

1. Jism 10 s da 20 marta tebrandi. Davr va chastota?

2. Mayatnik ipi 4 marta uzaytirildi. Davr necha marta o‘zgaradi?

3. Prujinadagi yuk massasi 4 marta oshirildi. Chastota necha marta o‘zgaradi?

4. 0,4 kg yuk bikrligi 40 N/m prujinada. Davr?

5. Chastotasi 5 Hz to‘lqin 2 m/s tezlikda tarqalmoqda. To‘lqin uzunligi?

6. Amplituda 5 cm, ω = 10 rad/s. Eng katta tezlik?

7. Davri 2 s bo‘lgan matematik mayatnik uzunligi (g = 10 m/s²)?

8. Bir to‘liq tebranishda amplitudasi 3 cm bo‘lgan jism qancha yo‘l bosadi?

Ko‘p uchraydigan xatolar

• Matematik mayatnik davri massaga bog‘liq deb o‘ylash.
• 1- va 3-do‘nglik orasini bitta λ deb olish.
• Prujinali mayatnik davriga g ni qo‘shish.
• To‘lqin moddani ko‘chiradi deb hisoblash: u faqat energiya ko‘chiradi.
• Bir davrdagi yo‘lni 2A deb olish: to‘g‘risi 4A.