Suyuqlik va gaz harakati, Bernulli tenglamasi

Gidrodinamika suyuqlik va gazlarning harakatini o‘rganadi. Harakatdagi suyuqlik tinch suyuqlikdan boshqacha "o‘zini tutadi": quvurning tor joyida tezroq oqadi va bosimi pasayadi. Bu oddiy ko‘ringan hodisa samolyot qanotining ko‘tarish kuchi, purkagich, karburator, nasoslar, suv quvurlari va hatto yonma-yon suzayotgan kemalarning bir-biriga tortilishini tushuntiradi. Mavzu gidrostatikaning davomi va energiyaning saqlanish qonunining suyuqliklarga qo‘llanishidir.

§1. Ideal suyuqlik va oqim chiziqlari

Real suyuqlik harakati murakkab, shuning uchun soddalashtirilgan model ishlatiladi. Ideal suyuqlik:

• siqilmaydi — zichligi hamma joyda bir xil;
• ichki ishqalanishi (yopishqoqligi) yo‘q — qatlamlar bir-biriga nisbatan erkin sirpanadi.

Oqim statsionar bo‘lsa, har bir nuqtada tezlik vaqt o‘tishi bilan o‘zgarmaydi (lekin nuqtadan nuqtaga farq qilishi mumkin).

Oqim chiziqlari — har bir nuqtasida urinma shu nuqtadagi tezlik yo‘nalishini ko‘rsatadigan chiziqlar. Ular qayerda zich bo‘lsa, tezlik o‘sha yerda katta. Oqim chiziqlari bilan chegaralangan "quvur" — oqim naychasi.

Sekin oqimda qatlamlar aralashmaydi — laminar oqim. Tezlik katta bo‘lganda uyurmalar paydo bo‘ladi — turbulent oqim (masalan, tez daryo yoki trubadan chiqayotgan tutun). Ideal suyuqlik modeli asosan laminar oqim uchun yaxshi ishlaydi.

§2. Uzluksizlik tenglamasi

Siqilmaydigan suyuqlik quvurda "to‘planib" qolmaydi va "yo‘qolmaydi", shuning uchun har bir kesimdan bir xil vaqtda bir xil hajm o‘tadi:

Quvur torayganda tezlik ortadi, kengayganda kamayadi. Kesim yuzasi diametr kvadratiga proporsional (S = πd²/4): diametr 2 marta kichraysa, kesim 4 marta kichrayadi va tezlik 4 marta ortadi. Shlang uchini barmoq bilan qissak, suv uzoqroqqa otilishi shu bilan tushuntiriladi.

Misol

Diametri 4 cm quvurda suv 1 m/s bilan oqmoqda; quvur diametri 2 cm gacha torayadi. Tor qismdagi tezlik qancha?

1. S ∝ d² → S₁/S₂ = (4/2)² = 4.
2. v₂ = v₁·S₁/S₂ = 1·4 = 4 m/s.

§3. Bernulli tenglamasi

Shveytsariyalik olim Daniil Bernulli (1738) suyuqlik oqimi uchun energiyaning saqlanish qonunini yozdi. Oqim naychasining bir qismini ko‘rib chiqaylik: bosim kuchlari bajargan ish suyuqlikning kinetik va potensial energiyasini o‘zgartiradi. Hajm birligi uchun yozilsa:

• p — statik bosim (devorga ta’sir qiladigan bosim);
• ρv²/2 — dinamik bosim (hajm birligining kinetik energiyasi);
• ρgh — gidrostatik (og‘irlik) bosim.

Gorizontal quvurda (h = const):

Demak, tezlik katta joyda bosim kichik. Bu "kutilmagan" xulosa: tor joyda suyuqlik devorga kamroq bosadi. Sababi — suyuqlik keng joydan torga o‘tganda tezlanadi, buning uchun orqadan katta bosim, oldindan kichik bosim bo‘lishi kerak.

Tinch suyuqlik uchun (v = 0) Bernulli tenglamasi gidrostatika formulasi p = p₀ + ρgh ga aylanadi.

Misol

Gorizontal quvurning kesimi 20 cm² dan 5 cm² ga torayadi; keng qismda suv tezligi 1 m/s. Keng va tor qismlardagi bosimlar farqi qancha?

1. Uzluksizlik: v₂ = v₁·S₁/S₂ = 1·20/5 = 4 m/s.
2. Bernulli: p₁ − p₂ = ρ(v₂² − v₁²)/2 = 1000·(16 − 1)/2.
3. p₁ − p₂ = 7500 Pa — keng qismda bosim katta. Venturi suv o‘lchagichi shu farq bo‘yicha sarfni aniqlaydi.

§4. Bernulli qonunining qo‘llanishi

• Samolyot qanoti: qanot shakli va hujum burchagi tufayli uning ustidan havo tezroq oqadi, bosim pastroq bo‘ladi; pastdan va ustdan bosimlar farqi ko‘tarish kuchini hosil qiladi.
• Purkagich, pulverizator, karburator: tor naycha orqali tez oqayotgan havo bosimi pasayadi, suyuqlik idishdan so‘rilib, mayda tomchilarga parchalanadi.
• Yonma-yon suzayotgan kemalar: orasidagi suv tezroq oqadi, bosim pasayadi va kemalar bir-biriga tortiladi. Poyezd yaqinida turish xavfli ekani ham shu bilan bog‘liq.
• Bo‘ronda tomning ko‘tarilishi: tom ustida havo tez esadi, bosim pasayadi, ichkaridagi bosim esa normal — tomni yuqoriga itaradi.
• So‘ruvchi nasos: suvni nasos ichidagi past bosim emas, atmosfera bosimi ko‘taradi.

Misol

So‘ruvchi nasos suv sirtidan 5 m balandda, quvur orqali suvga ulangan; p₀ = 100 kPa. Quvurdagi suvning eng katta tezligi qancha?

1. Nasos yonida bosim eng kichik — nolga yaqin. Bernulli: p₀ = ρgh + ρv²/2.
2. 10⁵ = 1000·10·5 + 500·v² → 500v² = 5·10⁴.
3. v² = 100, v = 10 m/s. Xuddi shu sababdan v = 0 da ham h ≤ p₀/(ρg) = 10 m — so‘ruvchi nasos suvni taxminan 10 m dan baland ko‘tara olmaydi.

§5. Torichelli formulasi va oqim uzoqligi

Keng ochiq idishning yon devoridagi teshikdan, suyuqlik sathidan h chuqurlikda oqib chiqayotgan suyuqlik tezligi Bernulli tenglamasidan kelib chiqadi (sirtda va teshikda bosim atmosferaga teng, sirtdagi tezlik deyarli nol):

Bu tezlik h balandlikdan erkin tushgan jism tezligi bilan bir xil. Teshikdan chiqqan oqim gorizontal otilgan jism kabi parabola bo‘ylab harakatlanadi. Teshik qancha chuqur bo‘lsa, oqim shuncha tez, lekin u polga yaqinroq bo‘ladi; idish polda tursa, oqim eng uzoqqa suyuqlik ustunining o‘rtasidagi teshikdan otiladi.

Misol

Bakdagi suv sathidan 0,8 m pastda teshik bor, teshik poldan 0,45 m balandda. Oqish tezligi va oqim polga qayerda tushadi?

1. v = √(2gh) = √(2·10·0,8) = √16 = 4 m/s.
2. Tushish vaqti: t = √(2H/g) = √(2·0,45/10) = 0,3 s.
3. Uzoqlik: L = vt = 4·0,3 = 1,2 m.

§6. Real suyuqliklar: yopishqoqlik va qarshilik

Real suyuqlik va gazlarda qatlamlar orasida ichki ishqalanish bor — yopishqoqlik. Asal yoki moy suvdan ancha yopishqoq. Quvurda devorga tegib turgan qatlam deyarli harakatsiz, o‘rtadagisi esa eng tez oqadi; shuning uchun suvni uzoq masofaga quvur orqali uzatish uchun nasos doim ish bajarishi kerak.

Suyuqlik yoki gazda harakatlanayotgan jismga qarshilik kuchi ta’sir qiladi. Kichik tezliklarda u tezlikka, katta tezliklarda tezlik kvadratiga taxminan proporsional. Shuning uchun tushayotgan yomg‘ir tomchisi yoki parashyutchi ma’lum tezlikdan keyin tezlanmay qo‘yadi: qarshilik kuchi og‘irlik kuchiga tenglashadi. Avtomobil va samolyotlarga suyri (oqimga moslashgan) shakl berilishi qarshilikni kamaytiradi.

O‘zingizni tekshiring

1. Quvur kesimi 3 marta kichraydi. Tezlik necha marta o‘zgaradi?

2. Kesimi 10 cm² quvurda suv 2 m/s bilan oqmoqda. Hajmiy sarf?

3. Nega samolyot qanoti ko‘tarish kuchi hosil qiladi?

4. Suv sathidan 5 m chuqurlikdagi teshikdan oqish tezligi?

5. Ikki kema yonma-yon tez suzsa, ular bir-biridan itariladimi yoki tortiladimi?

6. Gorizontal quvurning keng yoki tor qismida bosim katta?

7. Shlangdan 2·10⁻³ m³/s suv oqmoqda. 10 l chelak qancha vaqtda to‘ladi?

8. Gorizontal quvurda tezlik 1 m/s dan 3 m/s ga oshdi. Bosim qanchaga kamaydi?

Ko‘p uchraydigan xatolar

• Tor joyda bosim katta deb o‘ylash: aksincha, kichik.
• Uzluksizlikda yuzalar o‘rniga diametrlarni to‘g‘ridan-to‘g‘ri nisbatga qo‘yish: S ∝ d².
• Bernulli tenglamasida zichlikni g/cm³ da, yuzani cm² da qoldirish.
• Torichelli formulasida chuqurlikni teshikdan emas, idish tubidan o‘lchash: h — sathdan teshikkacha.
• So‘ruvchi nasos suvni "tortadi" deb o‘ylash: suvni atmosfera bosimi itaradi.