To‘lqin optikasi: interferensiya, difraksiya

Yorug‘lik — elektromagnit to‘lqin, shuning uchun u to‘lqinlarga xos hodisalarni namoyon qiladi: interferensiya, difraksiya, dispersiya va qutblanish. Sovun pufagining kamalak ranglari, kompakt-diskdagi rangli yo‘llar, kamalak va polaroid ko‘zoynaklar — barchasi to‘lqin optikasi bilan tushuntiriladi. Bu hodisalarni geometrik optika (nurlar) tushuntira olmaydi.

§1. Yorug‘lik interferensiyasi

Interferensiya — kogerent to‘lqinlar qo‘shilganda fazoda yorug‘ (maksimum) va qorong‘i (minimum) sohalarning barqaror almashinishi.
Kogerent to‘lqinlar — chastotasi bir xil va fazalar farqi vaqt bo‘yicha o‘zgarmas to‘lqinlar. Ikki alohida lampa kogerent emas, shuning uchun kogerent dastalar bitta manbadan bo‘lish yo‘li bilan olinadi.

Natija yo‘llar farqi Δ ga bog‘liq:

k = 0, 1, 2, ...

Misol

Ikki kogerent to‘lqinning yo‘llar farqi 1,5 μm. λ = 500 nm va λ = 600 nm da nuqtada nima kuzatiladi?

1. Δ/λ = 1,5·10⁻⁶/5·10⁻⁷ = 3 — butun son, maksimum.
2. Δ/λ = 1,5·10⁻⁶/6·10⁻⁷ = 2,5 — yarim to‘lqinlar toq soni (5), minimum.

§2. Yung tajribasi va yupqa pardalar

Yung tajribasida bitta manbadan yoritilgan ikki tor tirqish kogerent manbalar vazifasini bajaradi. Ekranda yorug‘ va qorong‘i yo‘llar hosil bo‘ladi, ular orasidagi masofa:

L — tirqishlardan ekrangacha masofa, d — tirqishlar orasidagi masofa.

Yupqa pardalardagi interferensiya: yorug‘lik pardaning yuqori va pastki sirtidan qaytadi, ikki dasta qo‘shiladi. Sovun pufagi va suvdagi yog‘ dog‘ining rangdorligi, Nyuton halqalari shu bilan tushuntiriladi. Optikani "ma’rifatlash": linzaga qalinligi λ/(4n) parda qoplanadi, qaytgan nurlar bir-birini so‘ndiradi va o‘tgan yorug‘lik ko‘payadi.

Misol

d = 0,5 mm, L = 1 m, λ = 500 nm. Yo‘llar orasidagi masofa?

1. Δx = 5·10⁻⁷·1/(5·10⁻⁴).
2. Δx = 10⁻³ m = 1 mm.

§3. Yorug‘lik difraksiyasi

Difraksiya — to‘lqinning to‘siqni aylanib o‘tishi, geometrik soya sohasiga kirishi. U to‘siq yoki tirqish o‘lchami to‘lqin uzunligi bilan taqqoslanadigan bo‘lganda yaqqol seziladi. Yorug‘likning to‘lqin uzunligi juda kichik (~0,5 μm), shuning uchun kundalik hayotda difraksiya kam seziladi, tovush esa (~1 m) devor ortidan ham eshitiladi.

Gyuygens–Frenel tamoyili: to‘lqin fronti har bir nuqtasi ikkilamchi kogerent to‘lqinlar manbai bo‘lib, ular interferensiyalashadi. Difraksiya mikroskop va teleskopning ajrata olish qobiliyatini cheklaydi.

§4. Difraksion panjara

Difraksion panjara — ko‘p sonli bir xil parallel tirqishlar. Panjara davri d — qo‘shni tirqishlar orasidagi masofa; 1 mm da N ta chiziq bo‘lsa, d = 1/N mm.

• k — spektr tartibi; sin φ ≤ 1 bo‘lgani uchun k ≤ d/λ.
• Oq yorug‘lik spektrga ajraladi: markaziy maksimum oq, qolganlarida markazga eng yaqini binafsha, eng uzog‘i qizil (λ katta — burchak katta).

Misol

d = 2·10⁻⁶ m, λ = 500 nm. Birinchi tartibli maksimum yo‘nalishi va eng katta tartib?

1. sin φ₁ = λ/d = 5·10⁻⁷/2·10⁻⁶ = 0,25, φ₁ ≈ 14,5°.
2. k ≤ d/λ = 4. k = 4 da φ = 90° — bu maksimum ekranga tushmaydi, shuning uchun amalda 3-tartibgacha kuzatiladi (testlarda ko‘pincha javob k_max = d/λ = 4 deb olinadi — shartni diqqat bilan o‘qing).

Misol

1 mm da 100 chiziqli panjarada 2-tartibli maksimum sin φ = 0,1 da kuzatildi. To‘lqin uzunligi?

1. d = 1/100 mm = 10⁻⁵ m.
2. λ = d·sin φ/k = 10⁻⁵·0,1/2 = 5·10⁻⁷ m = 500 nm.

§5. Dispersiya va qutblanish

Dispersiya — sindirish ko‘rsatkichining to‘lqin uzunligiga bog‘liqligi. Shishada binafsha nur uchun n katta, qizil uchun kichik. Shuning uchun prizma oq yorug‘likni spektrga ajratadi va binafsha eng ko‘p, qizil eng kam sinadi (Nyuton tajribasi). Kamalak — suv tomchilaridagi dispersiya.

Qutblanish — yorug‘likdagi E⃗ tebranishlarining bir tekislikda tartiblanishi. Tabiiy yorug‘lik qutblanmagan; polaroid faqat bir yo‘nalishdagi tebranishlarni o‘tkazadi va intensivlikni ikki marta kamaytiradi. Ikkinchi polaroid (analizator) burilganda yorug‘lik o‘zgaradi: I = I₁·cos² φ (Malyus qonuni). Qutblanish yorug‘likning ko‘ndalang to‘lqin ekanini isbotlaydi.

§6. To‘lqin optikasi amalda: kompakt-disk va to‘lqin uzunligini o‘lchash

Kirish qismida aytilgan kompakt-disk (CD) rangli yo‘llari — difraksion panjaraning kundalik misoli. Disk sirtida ma’lumot spiral yo‘lakchada yozilgan, qo‘shni o‘ramlar orasidagi masofa CD da taxminan 1,6 μm. Qaytgan yorug‘lik uchun bu yo‘lakchalar qaytaruvchi panjara vazifasini bajaradi va §4 dagi shart d·sin φ = kλ o‘z kuchida qoladi. Oq yorug‘likdagi har bir rang o‘z burchagida kuchayadi, shuning uchun disk kamalak kabi tovlanadi. DVD da yo‘lakchalar zichroq (≈ 0,74 μm), shuning uchun ranglar kattaroq burchakka og‘adi va diskka ko‘proq ma’lumot sig‘adi.

To‘lqin optikasining yana bir muhim amaliy natijasi — yorug‘lik to‘lqin uzunligini oddiy asboblar bilan o‘lchash mumkinligi. Yung tajribasida Δx, L va d o‘lchansa, λ = Δx·d/L; panjarada esa λ = d·sin φ/k. 1801–1803 yillarda T. Yung aynan shu yo‘l bilan turli ranglar to‘lqin uzunligini birinchi bo‘lib baholagan. Bugun spektrometrlar shu tamoyil asosida moddalar tarkibini aniqlaydi.

Misol

CD yo‘lakchalari orasidagi masofa 1,6 μm. λ = 650 nm qizil lazer nuri uchun birinchi tartibli maksimum burchagi va eng katta tartib?

1. sin φ₁ = λ/d = 650/1600 ≈ 0,406 → φ₁ ≈ 24°.
2. d/λ = 1600/650 ≈ 2,46, demak k_max = 2 — faqat 1- va 2-tartibli maksimumlar ko‘rinadi.

Misol

Yung tajribasida d = 0,2 mm, L = 2 m, qo‘shni yorug‘ yo‘llar orasidagi masofa 6 mm. To‘lqin uzunligi?

1. λ = Δx·d/L = 6·10⁻³·2·10⁻⁴/2.
2. λ = 6·10⁻⁷ m = 600 nm — to‘q sariq yorug‘lik.

O‘zingizni tekshiring

1. Yo‘llar farqi 2 μm, λ = 400 nm. Maksimummi yoki minimum?

2. Yo‘llar farqi 0,9 μm, λ = 600 nm?

3. 1 mm da 200 chiziqli panjara, λ = 500 nm. Birinchi maksimum uchun sin φ va eng katta tartib?

4. Yung tajribasida to‘lqin uzunligi 2 marta oshirildi. Yo‘llar orasidagi masofa?

5. n = 1,25 pardadan 550 nm uchun "ma’rifatlovchi" qoplama qalinligi?

6. Prizmada va difraksion panjarada qaysi rang ko‘proq og‘adi?

7. DVD yo‘lakchalari orasidagi masofa 0,74 μm, λ = 650 nm. Birinchi tartibli maksimum burchagi? Ikkinchi tartib bormi?

8. Yung tajribasida d = 0,4 mm, L = 2 m, Δx = 3 mm. To‘lqin uzunligi?

Ko‘p uchraydigan xatolar

• nm ni metrga o‘tkazmaslik (1 nm = 10⁻⁹ m).
• Panjara davri o‘rniga 1 mm dagi chiziqlar sonini qo‘yish (d = 1/N).
• Minimum shartini Δ = kλ/2 deb yozish: yarim to‘lqinlar soni toq bo‘lishi kerak.
• Prizma va panjarada ranglar tartibini adashtirish.
• Kogerent bo‘lmagan manbalar (ikki lampa) ham interferensiya beradi deb o‘ylash.
• Yung formulasidan λ ni topishda d va L ni o‘rnini almashtirib qo‘yish: λ = Δx·d/L, d — tirqishlar orasidagi masofa.