Butun olam tortishishi va kosmik tezliklar

Olmani yerga tushiradigan kuch Oyni ham orbitada ushlab turadi — bu Nyutonning buyuk kashfiyoti. Butun olam tortishish qonuni yerdagi va osmondagi hodisalarni birlashtirdi: jismlarning tushishi, okeanlardagi suv ko‘tarilishlari, sayyoralar harakati, sun’iy yo‘ldoshlar va kosmik parvozlar bitta qonun bilan tushuntiriladi. Bu mavzu Nyuton qonunlari va aylanma harakat bilimlarini birlashtiradi.

§1. Butun olam tortishish qonuni

Nyuton (1687) Oy harakatini tahlil qilib, uni Yerga tortayotgan kuch olmaga ta’sir etuvchi kuch bilan bir xil tabiatli degan xulosaga keldi va umumiy qonunni ta’rifladi:

• Har qanday ikki jism bir-birini tortadi; kuch massalar ko‘paytmasiga to‘g‘ri, ular orasidagi masofa kvadratiga teskari proporsional.
• Formula nuqtaviy jismlar va bir jinsli sharlar uchun aniq; shar uchun r — markazlar orasidagi masofa.
• Tortishish kuchlari Nyutonning uchinchi qonuniga bo‘ysunadi: Yer olmani qanday kuch bilan tortsa, olma ham Yerni shunday kuch bilan tortadi.
• G juda kichik, shuning uchun oddiy jismlar orasidagi tortishish sezilmaydi. Uni birinchi bo‘lib Kavendish (1798) buralma tarozi yordamida laboratoriyada o‘lchagan.

Masofa 2 marta ortsa, kuch 4 marta, 3 marta ortsa — 9 marta kamayadi.

Misol

Oy Yer markazidan 3,84·10⁸ m (taxminan 60 Yer radiusi) uzoqlikda, 27,3 sutkada bir marta aylanadi. Oyning markazga intilma tezlanishini toping va g/60² bilan solishtiring.

1. T = 27,3·86 400 ≈ 2,36·10⁶ s.
2. a = 4π²r/T² = 4·9,87·3,84·10⁸/(2,36·10⁶)² ≈ 0,0027 m/s².
3. g/3600 = 9,8/3600 ≈ 0,0027 m/s² — mos keladi; Nyuton aynan shu hisob bilan qonunni tekshirgan.

§2. Erkin tushish tezlanishi

Yer sirtida jismga ta’sir etuvchi og‘irlik kuchi — Yerning tortish kuchi: mg = GMm/R². Bundan:

• g jism massasiga bog‘liq emas — shuning uchun havosiz barcha jismlar bir xil tushadi.
• Yer radiusiga teng balandlikda (h = R) g 4 marta kichik. Eng baland tog‘ cho‘qqisida (taxminan 8,8 km) esa g atigi 0,3 % ga yaqin kamayadi — shuning uchun Yer sirti yaqinida g ni o‘zgarmas deb olish mumkin.
• Qutbda g ekvatordagidan biroz katta: Yer qutblarda siqilgan va o‘z o‘qi atrofida aylanadi.
• Boshqa sayyorada g uning massasi va radiusiga bog‘liq: g′/g = (M′/M)·(R/R′)².

Bu formula Yer massasini "tortib ko‘rish" imkonini berdi: M = gR²/G.

Misol

Massasi va radiusi Yernikidan 2 marta katta sayyorada g qancha?

1. g′ = G·2M/(2R)² = (2/4)·GM/R².
2. g′ = g/2 = 5 m/s².

Misol

g = 10 m/s², R = 6,4·10⁶ m bo‘yicha Yer massasini toping.

1. M = gR²/G = 10·(6,4·10⁶)²/(6,67·10⁻¹¹).
2. M ≈ 6,1·10²⁴ kg (aniq qiymati ≈ 6·10²⁴ kg).

§3. Sun’iy yo‘ldoshlar va kosmik tezliklar

Aylana orbitadagi yo‘ldoshga faqat tortishish ta’sir qiladi va u markazga intilma tezlanishni beradi: GMm/r² = mv²/r.

Birinchi kosmik tezlik — Yer sirti yaqinidagi aylana orbita tezligi:

Ikkinchi kosmik tezlik — Yer tortishishini yengib, undan butunlay uzoqlashish uchun eng kichik tezlik:

Uchinchi kosmik tezlik (Quyosh sistemasidan chiqish) ≈ 16,7 km/s.
Orbita radiusi ortsa, orbital tezlik kamayadi, davr esa ortadi. Geostatsionar yo‘ldosh ekvator ustida, Yer aylanishi bilan bir xil davrda (≈ 24 soat), taxminan 36 000 km balandlikda aylanadi va Yerdan qaraganda bir joyda "osilib" turadi — aloqa va televideniye yo‘ldoshlari shunday.
Birinchi sun’iy yo‘ldosh 1957 yil 4 oktyabrda uchirilgan.

Misol

Massasi Yernikidan 4 marta, radiusi 2 marta katta sayyora uchun birinchi kosmik tezlik qancha?

1. v₁ = √(GM/R) → v₁′/v₁ = √(4/2) = √2.
2. v₁′ = √2·7,9 ≈ 11,2 km/s.

§4. Kepler qonunlari

Kepler (XVII asr boshi) Tixo Brage kuzatuvlari asosida sayyoralar harakatining uch qonunini topgan; keyinchalik Nyuton ularni tortishish qonunidan keltirib chiqargan.

1. Sayyoralar ellips bo‘ylab harakatlanadi, Quyosh — ellips fokuslaridan birida.
2. Sayyorani Quyosh bilan tutashtiruvchi radius-vektor teng vaqtlarda teng yuzalar chizadi — sayyora Quyoshga yaqin joyda tezroq harakatlanadi.
3. Aylanish davri kvadratining orbita katta yarim o‘qi kubiga nisbati barcha sayyoralar uchun bir xil:

Uchinchi qonun aylana orbita uchun T² = 4π²r³/(GM) ko‘rinishida yoziladi — u faqat markaziy jism massasiga bog‘liq.

Misol

Mars orbitasining katta yarim o‘qi Yernikidan 1,52 marta katta. Mars yili necha Yer yiliga teng?

1. T_M²/T_Y² = (1,52)³.
2. T_M = 1,52^1,5 ≈ 1,87 Yer yili.

§5. Vaznsizlik va tortishish energiyasi

Orbitadagi kosmonavt vaznsiz: u ham, kema ham faqat tortishish ta’sirida bir xil tezlanish bilan erkin "tushmoqda", shuning uchun kosmonavt kema poliga bosmaydi. Tortishish yo‘qolmagan — u aynan orbitani ushlab turibdi.
Ikki jismning tortishish potensial energiyasi:

Cheksiz uzoqda E_p = 0, yaqinlashgan sari energiya manfiy va kichikroq bo‘ladi. Ikkinchi kosmik tezlik shu formuladan kelib chiqadi: mv₂²/2 − GMm/R = 0 → v₂ = √(2GM/R) = √2·v₁. Yer sirti yaqinidagi kichik balandliklar uchun bu formula tanish mgh ga aylanadi.

§6. Tortishishning namoyon bo‘lishi

• Suv ko‘tarilishi va qaytishi (qalqish): Oy Yerning unga yaqin tomonini kuchliroq, uzoq tomonini kuchsizroq tortadi. Tortishishdagi bu farq okeanda ikki "do‘nglik" hosil qiladi, Yer aylangani sari ko‘p joylarda sutkada ikki marta suv ko‘tariladi. Quyosh ham hissa qo‘shadi, lekin uning ta’siri Oynikidan taxminan ikki marta kichik.
• Sayyoralar va yulduzlarning sharsimonligi: katta jismlarda o‘z tortishishi moddani markazga tortib, shar shaklini beradi.
• Kundalik jismlar: ular orasidagi tortishish shunchalik kichikki, uni faqat juda sezgir asboblar seza oladi.

Misol

Har birining massasi 50 000 t bo‘lgan ikki kema bir-biridan 1 km uzoqlikda. Ular qanday kuch bilan tortishadi?

1. m = 5·10⁷ kg, r = 10³ m.
2. F = Gm²/r² = 6,67·10⁻¹¹·(5·10⁷)²/10⁶ ≈ 0,17 N — kemalarning og‘irligidan milliardlab marta kichik.

O‘zingizni tekshiring

1. Ikki jism orasidagi masofa 3 marta kamaydi. Tortishish kuchi necha marta o‘zgaradi?

2. h = R balandlikda erkin tushish tezlanishi?

3. Massasi Yernikidek, radiusi 2 marta kichik sayyorada g?

4. Birinchi kosmik tezlik 7,9 km/s. Ikkinchisi?

5. Orbita radiusi 4 marta oshsa, orbital tezlik necha marta o‘zgaradi?

6. 1 kg va 1 kg massalar 1 m masofada. Tortishish kuchi?

7. Sayyora orbitasining yarim o‘qi 4 marta katta. Davri necha marta katta?

8. Orbitadagi kosmonavtga tortishish kuchi ta’sir qiladimi?

Ko‘p uchraydigan xatolar

• r ni sirtdan o‘lchash: masofa markazdan olinadi, r = R + h.
• Kuch masofaga emas, masofa kvadratiga teskari proporsional ekanini unutish.
• Orbitada tortishish yo‘q deb o‘ylash: vaznsizlik tortishishsizlik emas.
• v₁ va v₂ formulalarini almashtirish.
• Kilometrni metrga o‘tkazmasdan G bilan hisoblash.