Chiziqli funksiya va grafigi

Chiziqli funksiya — eng sodda, lekin eng ko‘p ishlatiladigan funksiya: o‘zgarmas tezlikdagi harakat, tarif bo‘yicha to‘lov, urinma tenglamasi — barchasi y = kx + b ko‘rinishida yoziladi. Imtihonda koeffitsiyentlarning ma’nosi, ikki nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq, parallellik va perpendikulyarlik shartlari tez-tez so‘raladi.

§1. Ta’rif va koeffitsiyentlar ma’nosi

• `k` — burchak koeffitsiyenti. x bir birlikka oshganda y qanchaga o‘zgarishini ko‘rsatadi: k = Δy/Δx. Geometrik ma’nosi: k = tg α, bu yerda α — to‘g‘ri chiziq va Ox o‘qining musbat yo‘nalishi orasidagi burchak.
• `b` — boshlang‘ich qiymat. x = 0 da y = b, ya’ni grafik Oy o‘qini (0; b) nuqtada kesadi.

Xususiy hollar:

• b = 0: y = kx — to‘g‘ri proporsionallik, grafik koordinata boshidan o‘tadi.
• k = 0: y = b — Ox ga parallel gorizontal chiziq.
• x = a ko‘rinishidagi vertikal chiziq funksiya emas (bitta x ga cheksiz ko‘p y).

Masalan, y = −x + 4 uchun tg α = −1, demak α = 135°.

§2. Monotonlik va o‘qlar bilan kesishish

• k > 0 — funksiya o‘suvchi (chiziq chapdan o‘ngga ko‘tariladi), α — o‘tkir burchak.
• k < 0 — kamayuvchi, α — o‘tmas burchak.

O‘qlar bilan kesishish nuqtalari:

Grafikni chizish uchun ikki nuqta yetarli — eng qulayi aynan shu ikki nuqta.
Chiziq va o‘qlar hosil qilgan uchburchak — to‘g‘ri burchakli, katetlari |b| va |b/k|:

Misol

y = 2x − 6 to‘g‘ri chiziq koordinata o‘qlari bilan qanday yuzali uchburchak hosil qiladi?

1. Oy bilan: x = 0 → y = −6, nuqta (0; −6).
2. Ox bilan: 2x − 6 = 0 → x = 3, nuqta (3; 0).
3. Katetlar 3 va 6: S = 3·6/2 = 9.

§3. Ikki nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq

(x₁; y₁) va (x₂; y₂) nuqtalar berilsa, avval burchak koeffitsiyenti topiladi:

So‘ng nuqtalardan birini y = kx + b ga qo‘yib b topiladi. Umumiy formula:

Nuqta chiziqda yotishini tekshirish: koordinatalarini tenglamaga qo‘yamiz — tenglik bajarilsa, yotadi.

Misol

(1; 3) va (3; 7) nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzing. (5; 11) nuqta unda yotadimi?

1. k = (7 − 3)/(3 − 1) = 2.
2. 3 = 2·1 + b → b = 1. Tenglama: y = 2x + 1.
3. x = 5: y = 11 — ha, yotadi.

§4. Ikki to‘g‘ri chiziqning o‘zaro joylashuvi

y = k₁x + b₁ va y = k₂x + b₂ berilgan bo‘lsin.

Nega perpendikulyarlikda ko‘paytma −1? Chiziqni 90° ga burilganda (1; k) yo‘nalish vektori (−k; 1) ga o‘tadi, yangi burchak koeffitsiyenti 1/(−k) = −1/k.
Kesishish nuqtasi tenglamalarni tenglashtirib topiladi: k₁x + b₁ = k₂x + b₂.

Misol

(2; 1) nuqtadan o‘tuvchi va y = 2x + 5 ga perpendikulyar to‘g‘ri chiziqni toping, so‘ng uning y = 2x + 5 bilan kesishish nuqtasini aniqlang.

1. k = −1/2.
2. 1 = −1/2·2 + b → b = 2. Tenglama: y = −x/2 + 2.
3. 2x + 5 = −x/2 + 2 → 5x/2 = −3 → x = −6/5, y = 2·(−6/5) + 5 = 13/5.
4. Kesishish nuqtasi (−1,2; 2,6).

§5. Parametrli savollar va chiziqli modellar

• y = (m − 3)x + 2 kamayuvchi bo‘lishi uchun m − 3 < 0 → m < 3.
• Kesmada chiziqli funksiya eng katta va eng kichik qiymatini uchlarida qabul qiladi: [−1; 4] da y = 2x − 1 uchun min = −3, max = 7.
• Amaliy model: taksi 5000 so‘m qo‘nish va har km uchun 2000 so‘m → y = 2000x + 5000; 12 km uchun 29000 so‘m.

§6. To‘g‘ri chiziqlarning kesishishi va tenglamalar sistemasi

Ikki chiziqli funksiya grafiklarining umumiy nuqtasi — ikkala tenglamani bir vaqtda qanoatlantiradigan juftlik (x; y). Demak, kesishish nuqtasini topish ikki noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasini yechish bilan bir xil.

Uch holat bo‘lishi mumkin, va ular §4 dagi o‘zaro joylashuv bilan to‘liq mos keladi:

• k₁ ≠ k₂ — chiziqlar bitta nuqtada kesishadi, sistema yagona yechimga ega.
• k₁ = k₂, b₁ ≠ b₂ — chiziqlar parallel, sistema yechimga ega emas.
• k₁ = k₂, b₁ = b₂ — chiziqlar ustma-ust tushadi, sistema cheksiz ko‘p yechimga ega.

Grafik usul yechimlar sonini tez ko‘rsatadi, lekin aniq qiymatni algebraik usul (tenglashtirish yoki o‘rniga qo‘yish) beradi. Kesishish nuqtasini topgach, uni ikkala tenglamaga qo‘yib tekshirish foydali: xatoni darhol sezasiz.
Kesishish nuqtasi ko‘pincha geometrik masalaning bir qismi bo‘ladi: ikki to‘g‘ri chiziq va koordinata o‘qi uchburchak hosil qiladi, uning uchlari esa kesishish nuqtalaridir.

Misol

y = 2x − 1 va y = −x + 5 to‘g‘ri chiziqlari hamda Oy o‘qi bilan chegaralangan uchburchak yuzini toping.

1. Kesishish: 2x − 1 = −x + 5 → 3x = 6 → x = 2, y = 2·2 − 1 = 3; nuqta (2; 3).
2. Tekshiruv: −2 + 5 = 3 — to‘g‘ri.
3. Oy bilan kesishishlar: (0; −1) va (0; 5); Oy dagi asos 5 − (−1) = 6.
4. Balandlik — kesishish nuqtasidan Oy gacha masofa, ya’ni |x| = 2.
5. S = 6·2/2 = 6.

O‘zingizni tekshiring

1. 3y − 6x = 9 to‘g‘ri chiziqning k va b sini toping.

2. y = −x + 4 to‘g‘ri chiziq Ox o‘qi bilan qanday burchak hosil qiladi?

3. (−1; 2) va (3; −6) nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqni toping.

4. (1; 5) nuqtadan o‘tuvchi va y = 3x − 1 ga parallel chiziqni toping.

5. y = −2x + 4 koordinata o‘qlari bilan qanday yuzali uchburchak hosil qiladi?

6. a ning qanday qiymatida y = (a + 1)x + 3 va y = 2x − 1 perpendikulyar?

7. y = 3x + 2 va y = x − 4 to‘g‘ri chiziqlarining kesishish nuqtasini toping.

8. y = kx + 3 to‘g‘ri chiziq (2; 7) nuqtadan o‘tadi. k ni toping.

Ko‘p uchraydigan xatolar

• Burchak koeffitsiyentini (x₂ − x₁)/(y₂ − y₁) deb teskari hisoblash.
• Perpendikulyarlik shartini k₁ = −k₂ deb eslab qolish (to‘g‘risi k₁·k₂ = −1).
• Ox bilan kesishishni (b; 0) deb yozish — aslida (−b/k; 0).
• Tenglamani y = kx + b ko‘rinishiga keltirmasdan koeffitsiyentlarni o‘qish (3y − 6x = 9 da k = 6 emas).
• Parallellikda b₁ ≠ b₂ shartini unutish: bir xil chiziq parallel hisoblanmaydi.
• Kesishish nuqtasini topgach, y ni faqat bitta tenglamadan hisoblab, ikkinchisiga qo‘yib tekshirmaslik.