Kvadrat funksiya va parabola

Kvadrat funksiya grafigi — parabola. U kvadrat tengsizliklarni yechishda, eng katta va eng kichik qiymatni topishda, amaliy optimallash masalalarida asosiy vosita. Parabolaning uchini, yo‘nalishini va o‘qlar bilan kesishishini tez aniqlay olish imtihonda ko‘p vaqtni tejaydi.

§1. Ta’rif va koeffitsiyentlar roli

Har bir koeffitsiyent grafik haqida nimadir aytadi:

• `a` — yo‘nalish va kenglik. a > 0 — tarmoqlar yuqoriga, a < 0 — pastga. |a| qancha katta bo‘lsa, parabola shuncha «tor».
• `c` — `Oy` bilan kesishish: x = 0 da y = c, nuqta (0; c).
• `b` — uchning joylashuvi. a va b ishorasi bir xil bo‘lsa, uch Oy dan chapda (x₀ < 0), har xil bo‘lsa — o‘ngda; b = 0 bo‘lsa, uch Oy ustida.

Eng sodda parabola y = x² ning uchi (0; 0) da, u Oy ga nisbatan simmetrik.

§2. Parabola uchi va to‘liq kvadrat

To‘liq kvadrat ajratsak:

Demak har qanday parabola — y = ax² ning x₀ birlik gorizontal va y₀ birlik vertikal surilgani. Bundan quyidagilar kelib chiqadi:

• Simmetriya o‘qi: x = x₀.
• a > 0 da: (−∞; x₀] da kamayadi, [x₀; +∞) da o‘sadi, eng kichik qiymat y₀, E = [y₀; +∞).
• a < 0 da: aksincha, eng katta qiymat y₀, E = (−∞; y₀].

Simmetriya foydali: agar f(1) = f(5) bo‘lsa, o‘q x = 3 — uch abssissasi ikki nuqta o‘rtasida.

Misol

y = 2x² − 8x + 5 funksiyani tekshiring.

1. x₀ = 8/4 = 2, y₀ = 2·4 − 16 + 5 = −3. Uch (2; −3).
2. Ko‘rinishi: y = 2(x − 2)² − 3.
3. a = 2 > 0 → tarmoqlar yuqoriga, E = [−3; +∞).
4. (−∞; 2] da kamayadi, [2; +∞) da o‘sadi; Oy bilan (0; 5) da kesishadi.

§3. Nollar va ishora: kvadrat tengsizliklar

Ox bilan kesishish — ax² + bx + c = 0 ildizlari. Diskriminant parabola holatini belgilaydi:

• D > 0 — Ox ni ikki nuqtada kesadi;
• D = 0 — Ox ga uchida urinadi;
• D < 0 — Ox bilan umumiy nuqtasi yo‘q.

Kvadrat tengsizlikni yechish algoritmi:

1. Ildizlarni topamiz.
2. Parabola yo‘nalishini (a ishorasini) aniqlaymiz.
3. a > 0 da funksiya ildizlar orasida manfiy, tashqarisida musbat.

Misol

m ning qanday qiymatlarida x² + 2x + m > 0 tengsizlik barcha x da bajariladi?

1. a = 1 > 0, demak parabola Ox dan butunlay yuqorida bo‘lishi kerak: D < 0.
2. D = 4 − 4m < 0 → m > 1.
3. Javob: m ∈ (1; +∞).

§4. Kesmadagi eng katta va eng kichik qiymat

Kesmada kvadrat funksiya ekstremal qiymatlarini yoki uchida, yoki kesma uchlarida qabul qiladi. Shuning uchun:

1. x₀ kesmaga tegishlimi — tekshiramiz.
2. f(x₀) (agar tegishli bo‘lsa) va kesma uchlaridagi qiymatlarni hisoblaymiz.
3. Ular orasidan eng kattasi va eng kichigini tanlaymiz.

Misol

y = x² − 4x + 1 ning [0; 3] dagi eng katta va eng kichik qiymatlari.

1. x₀ = 2 ∈ [0; 3], f(2) = 4 − 8 + 1 = −3.
2. f(0) = 1, f(3) = 9 − 12 + 1 = −2.
3. min = −3, max = 1.

Misol (amaliy)

Perimetri 20 m bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchakning eng katta yuzi qancha?

1. Tomonlar x va 10 − x: S(x) = x(10 − x) = −x² + 10x.
2. a < 0, uch x₀ = 5: S(5) = 25.
3. Javob: kvadrat, 25 m².

§5. Shartlar bo‘yicha parabolani tiklash

Uch, ildizlar yoki nuqtalar berilsa, koeffitsiyentlar tenglamalar orqali topiladi.

Misol

f(x) = ax² + bx + 6 parabolaning uchi B(1/2; 25/4). Ildizlar nisbati x₂/x₁ ni toping (x₁ < x₂).

1. −b/(2a) = 1/2 → b = −a.
2. f(1/2) = a/4 − a/2 + 6 = 6 − a/4 = 25/4 → a = −1, b = 1.
3. −x² + x + 6 = 0 → x₁ = −2, x₂ = 3.
4. x₂/x₁ = −1,5.

§6. Viyet teoremasi va parabola nollari

Agar y = ax² + bx + c parabolasi Ox ni x₁ va x₂ nuqtalarda kessa (D ≥ 0), bu sonlar ax² + bx + c = 0 tenglamaning ildizlari bo‘ladi va ular koeffitsiyentlar bilan oddiy bog‘langan:

Bu formulalar ildizlarni topmasdan turib ular haqida ko‘p narsani aytadi:

• Parabolaning simmetriya o‘qi ildizlar o‘rtasidan o‘tadi: x₀ = (x₁ + x₂)/2 = −b/(2a) — §2 dagi uch formulasining yana bir isboti.
• x₁·x₂ < 0 (ya’ni c/a < 0) bo‘lsa, ildizlar har xil ishorali; bu holda D > 0 avtomatik bajariladi.
• Ikkala ildiz musbat bo‘lishi uchun: D ≥ 0, x₁ + x₂ > 0, x₁·x₂ > 0.
• Ildizlarning simmetrik ifodalari yig‘indi va ko‘paytma orqali yoziladi: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂, 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/(x₁x₂).

Viyet teoremasidan foydalanganda avval D ≥ 0 ekanini tekshirish shart: aks holda haqiqiy ildizlar yo‘q, yig‘indi va ko‘paytma haqidagi xulosa ma’nosiz bo‘ladi. Keltirilgan tenglamada (a = 1) formulalar yanada sodda: x₁ + x₂ = −b, x₁x₂ = c.

Misol

y = x² − 6x + c parabolasi Ox ni x₁ va x₂ nuqtalarda kesadi va x₁² + x₂² = 20. c ni va kesishish nuqtalarini toping.

1. Viyet: x₁ + x₂ = 6, x₁x₂ = c.
2. x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = 36 − 2c = 20 → c = 8.
3. Tekshiruv: D = 36 − 32 = 4 > 0 — ikki nuqta mavjud.
4. x² − 6x + 8 = 0 → x₁ = 2, x₂ = 4; 2² + 4² = 20 — to‘g‘ri.
5. Javob: c = 8, nuqtalar (2; 0) va (4; 0).

O‘zingizni tekshiring

1. y = −x² + 6x − 5 parabolaning uchini toping.

2. y = x² + 4x + 7 ning qiymatlar sohasini toping.

3. y = x² − 2x − 8 grafigi Ox ni qaysi nuqtalarda kesadi?

4. x² − 5x + 4 ≤ 0 ni yeching.

5. y = −2x² + 8x − 3 ning eng katta qiymati.

6. k ning qanday qiymatlarida y = x² + kx + 4 grafigi Ox ga urinadi?

7. x² + 5x − 6 = 0 ildizlarining yig‘indisi va ko‘paytmasini toping.

8. x² − 4x + c = 0 ning bitta ildizi 1. Ikkinchi ildiz va c ni toping.

Ko‘p uchraydigan xatolar

• Uch formulasida ishorani tushirish: x₀ = −b/(2a), b/(2a) emas.
• Tarmoqlar yo‘nalishini b yoki c ga qarab aniqlash (faqat a belgilaydi).
• Kesmadagi eng katta qiymatni faqat uchdan izlash — kesma uchlarini ham tekshirish shart.
• Uch kesmaga tegishli bo‘lmasa ham f(x₀) ni javob qilib olish.
• a > 0 da tengsizlik < 0 ning yechimini ildizlar tashqarisidan olish (to‘g‘risi — orasida).
• Viyet teoremasini D < 0 bo‘lgan tenglamaga qo‘llash yoki x₁ + x₂ = b deb ishorani yo‘qotish.