Parabola va to‘g‘ri chiziqdan keyin imtihonda eng ko‘p uchraydigan grafiklar — giperbola, ildizli va modulli funksiyalar. Ular bilan bog‘liq savollar odatda aniqlanish sohasi, asimptotalar, grafiklarning kesishish nuqtalari va parametrli tenglamalardagi yechimlar soniga taalluqli. Har bir funksiyaning «skeletini» bilsangiz, surilgan variantlarini ham bir qarashda chizasiz.
§1. Giperbola va kasr-chiziqli funksiya
y = k/x, k ≠ 0 — teskari proporsionallik; D = E = (−∞; 0) ∪ (0; +∞)
k > 0 — tarmoqlar I va III choraklarda, har bir oraliqda kamayadi.
k < 0 — II va IV choraklarda, har bir oraliqda o‘sadi.
Koordinata o‘qlari — asimptotalar: grafik ularga cheksiz yaqinlashadi, lekin kesib o‘tmaydi.
Funksiya toq: grafik koordinata boshiga nisbatan simmetrik.
Muhim nozik joy: k > 0 da y = k/x «har bir oraliqda» kamayadi, lekin butun aniqlanish sohasida emas: −1 < 1, ammo f(−1) = −k < f(1) = k. Surilgan giperbola:
y = k/(x − a) + b — asimptotalar x = a va y = b
y = (ax + b)/(cx + d) — asimptotalar x = −d/c va y = a/c
Misol
y = (2x + 1)/(x − 1) ning asimptotalarini toping va grafigini tushuntiring.
Butun qismini ajratamiz: 2x + 1 = 2(x − 1) + 3, demak y = 2 + 3/(x − 1).
Bu y = 3/x ning 1 birlik o‘ngga va 2 birlik yuqoriga surilgani.
Asimptotalar: x = 1 va y = 2; k = 3 > 0 — tarmoqlar asimptotalar hosil qilgan «I va III choraklarda».
§2. Ildizli funksiya
y = √x: D = [0; +∞), E = [0; +∞), o‘suvchi
Grafigi — y = x² parabolaning o‘ng yarmini y = x ga nisbatan aks ettirilgani (yotgan yarim parabola), chunki x ≥ 0 da √x va x² o‘zaro teskari.
y = √(x − a) + b — grafik (a; b) nuqtadan «boshlanadi».
y = ∛x — barcha haqiqiy sonlarda aniqlangan, toq va o‘suvchi.
Misol
y = √(x + 4) − 1 uchun D, E va Ox bilan kesishish nuqtasini toping.
x + 4 ≥ 0 → D = [−4; +∞).
√(x + 4) ≥ 0 → y ≥ −1, E = [−1; +∞); grafik (−4; −1) dan boshlanadi.
√(x + 4) = 1 → x + 4 = 1 → x = −3. Nuqta (−3; 0).
§3. Modulli funksiya
|x| = x, agar x ≥ 0; |x| = −x, agar x < 0
y = |x| — uchi (0; 0) da bo‘lgan «galochka», juft funksiya. y = |x − a| + b ning uchi (a; b). Modulli grafiklarni qurishning ikki asosiy qoidasi:
y = |f(x)|: f ning Ox dan pastdagi qismi yuqoriga aks ettiriladi.
y = f(|x|): x ≥ 0 dagi qism qoldiriladi va Oy ga nisbatan chapga aks ettiriladi.
Misol
y = |x − 2| − 3 grafigi Ox bilan qanday yuzali uchburchak hosil qiladi?
Uch (2; −3), shoxlar yuqoriga.
Ox bilan: |x − 2| = 3 → x = 5 yoki x = −1.
Asos 6, balandlik 3: S = 6·3/2 = 9.
Misol (parametr)
|x² − 4| = a tenglama a ga qarab nechta yechimga ega?
y = x² − 4 ning Ox ostidagi qismi (−2 < x < 2) yuqoriga aks ettiriladi; yangi «do‘nglik» uchi (0; 4).
Gorizontal y = a chiziq bilan kesishishlar: a < 0 — 0 ta; a = 0 — 2 ta; 0 < a < 4 — 4 ta; a = 4 — 3 ta; a > 4 — 2 ta.
§4. Darajali funksiya
y = xⁿ: n juft — juft funksiya, y ≥ 0; n toq — toq funksiya, E = ℝ
Barcha y = xⁿ (n > 0) grafiklari (1; 1) nuqtadan o‘tadi.
0 < x < 1 da daraja qancha katta bo‘lsa, qiymat shuncha kichik (x³ < x²), x > 1 da esa aksincha.
y = x⁻ⁿ = 1/xⁿ — giperbolaga o‘xshash; y = 1/x² juft, y > 0.
§5. Grafiklarning kesishishi
Ikki grafik umumiy nuqtalari — f(x) = g(x) tenglamaning yechimlari. Grafik chizish yechimlar sonini oldindan ko‘rishga yordam beradi.
Misol
f(x) = 2√x va g(x) = 2x grafiklari nechta nuqtada kesishadi va ular orasidagi yuza qancha?
2√x = 2x → √x = x → x = x² → x = 0 yoki x = 1 — ikki nuqta: (0; 0) va (1; 2).
(0; 1) da √x > x, shuning uchun S = ∫₀¹(2√x − 2x)dx.
Yangi funksiyaning grafigini noldan chizish shart emas: ko‘pincha u ma’lum grafikdan (y = √x, y = |x|, y = 1/x, y = x²) bir nechta oddiy almashtirish bilan hosil bo‘ladi. Bu usul barcha oldingi paragraflardagi funksiyalar uchun bir xil ishlaydi.
y = f(x − a) + b — grafik a birlik o‘ngga va b birlik yuqoriga suriladi
y = −f(x) — Ox ga nisbatan, y = f(−x) — Oy ga nisbatan simmetrik akslantirish
y = k·f(x) (k > 0) — Oy bo‘ylab k marta cho‘zish (k < 1 bo‘lsa, siqish)
Qavs ichidagi o‘zgarish gorizontal va «teskari» ishlaydi: f(x − 3) grafigi chapga emas, o‘ngga suriladi, chunki eski x = 0 nuqta endi x = 3 da hosil bo‘ladi.
Qavs tashqarisidagi qo‘shiluvchi vertikal va «to‘g‘ri» ishlaydi: + b yuqoriga, − b pastga.
Almashtirishlar ketma-ketligi muhim: avval siljitish, keyin akslantirish natijasi boshqacha bo‘lishi mumkin. Xavfsiz tartib: avval qavs ichidagi o‘zgarishlar, keyin −f yoki k·f, oxirida vertikal siljitish.
Siljitishda aniqlanish sohasi ham, qiymatlar sohasi ham birga suriladi. Masalan, y = √(x + 4) − 1 uchun D = [−4; +∞), E = [−1; +∞); grafik Ox ni √(x + 4) = 1, ya’ni x = −3 da kesadi, Oy ni esa y = √4 − 1 = 1 da kesadi.
Misol
y = 2 − |x + 1| grafigini chizing va u Ox o‘qi bilan hosil qilgan uchburchak yuzini toping.
Asos — y = |x| (uchi (0; 0), tarmoqlari yuqoriga).
|x + 1| — grafik 1 birlik chapga suriladi, uchi (−1; 0).
−|x + 1| — Ox ga nisbatan akslanadi, tarmoqlari pastga qaraydi.
2 − |x + 1| — 2 birlik yuqoriga, uchi (−1; 2).
Ox bilan kesishish: |x + 1| = 2 → x = 1 yoki x = −3; asos 4, balandlik 2.
S = 4·2/2 = 4.
O‘zingizni tekshiring
y = 3/(x + 2) − 1 ning asimptotalarini toping.
y = −6/x grafigi qaysi choraklarda joylashgan va x = −2 da qiymati qancha?
y = √(5 − x) + 2 ning aniqlanish va qiymatlar sohasini toping.
|x − 3| = 5 ni yeching.
y = 4/x va y = x grafiklarining kesishish nuqtalarini toping.
|x² − 4| = 3 tenglama nechta yechimga ega?
y = √x grafigini qanday surib y = √(x − 3) + 2 grafigi hosil qilinadi?
y = 1 − |x − 2| grafigi va Ox o‘qi bilan chegaralangan uchburchak yuzini toping.
Ko‘p uchraydigan xatolar
y = k/x grafigi o‘qlarni kesib o‘tadi deb o‘ylash — o‘qlar asimptota.
y = 1/x ni butun aniqlanish sohasida kamayuvchi deb aytish (faqat har bir oraliqda).
√x ni manfiy x da aniqlangan deb hisoblash; ∛x bilan adashtirish.
|f(x)| va f(|x|) qoidalarini almashtirib yuborish.
|x − 3| = 5 da faqat bitta (x = 8) yechimni yozish.
y = f(x − a) grafigini chapga surish: qavs ichidagi − a grafikni o‘ngga suradi.