Juft-toqlik, monotonlik, davriylik

Funksiyaning grafigini chizmasdan turib uning «xulqini» bilish mumkin: u simmetrikmi, qayerda o‘sadi, qayerda musbat, takrorlanadimi, qanday chegaralar ichida o‘zgaradi. Bu xossalar test savollarida tez-tez so‘raladi va murakkab masalalarni ancha soddalashtiradi: juft-toqlik hisobni yarmiga qisqartiradi, monotonlik tenglama ildizining yagonaligini kafolatlaydi, davriylik katta argumentni kichigiga keltiradi. Bu dars «Funksiya tushunchasi» mavzusining davomi bo‘lib, hosila yordamida funksiyani tekshirishga tayyorlaydi.

§1. Juft va toq funksiyalar

Avvalo aniqlanish sohasi `0` ga nisbatan simmetrik bo‘lishi kerak: agar x sohada bo‘lsa, −x ham sohada bo‘lishi shart. Aks holda funksiya juft ham, toq ham emas.

Namunalar: juft — x², x⁴, |x|, cos x; toq — x, x³, sin x, tg x, ctg x, 1/x. Nomlanishi darajali funksiyadan kelib chiqqan: xⁿ juft n da juft, toq n da toq.
Amallar qoidasi (sonlarni ko‘paytirishdagi ishoralarga o‘xshaydi):

• juft · juft = juft, toq · toq = juft, juft · toq = toq;
• juft + juft = juft, toq + toq = toq; juft + toq (ikkalasi ham nolga teng bo‘lmasa) — umumiy holda na juft, na toq;
• toq funksiya 0 da aniqlangan bo‘lsa, f(0) = 0 (chunki f(0) = −f(0)).

Tekshirish tartibi: soha simmetrikmi → f(−x) ni hisoblab, f(x) va −f(x) bilan solishtirish.

Misol

f(x) = sin x · √(1 + x²) ning juft-toqligini aniqlang.

1. Soha — barcha sonlar, simmetrik.
2. f(−x) = sin(−x)·√(1 + (−x)²) = −sin x·√(1 + x²).
3. f(−x) = −f(x). Javob: toq.

Yana bir misol: g(x) = √x + x⁴ ning sohasi x ≥ 0 — simmetrik emas, demak na juft, na toq.

§2. Monotonlik

Monotonlik oraliqda tekshiriladi. Masalan, y = x² (−∞; 0] da kamayadi, [0; +∞) da o‘sadi, lekin butun son o‘qida monoton emas. y = 1/x ham (−∞; 0) va (0; +∞) da alohida-alohida kamayadi, lekin ularning birlashmasida kamayuvchi emas: −1 < 1, ammo f(−1) = −1 < f(1) = 1.

• Hosila orqali: oraliqda f′(x) > 0 bo‘lsa o‘sadi, f′(x) < 0 bo‘lsa kamayadi.
• Asosiy funksiyalar: y = kx + b — k > 0 da o‘sadi; y = aˣ — a > 1 da o‘sadi, 0 < a < 1 da kamayadi; y = logₐx — xuddi shunday; y = k/x — k > 0 da har bir oraliqda kamayadi.
• O‘suvchi + o‘suvchi = o‘suvchi; f o‘suvchi bo‘lsa, −f kamayuvchi.

Monotonlikdan foydalanish. O‘suvchi funksiya har bir qiymatni ko‘pi bilan bir marta qabul qiladi. Shuning uchun 2ˣ + x = 3 tenglamaning chap tomoni o‘suvchi, ildiz yagona — tanlash bilan x = 1. Xuddi shunday, o‘suvchi funksiya uchun f(a) < f(b) tengsizlik a < b ga teng kuchli.

§3. Davriylik

• sin x, cos x — 2π; tg x, ctg x — π.
• y = f(kx + b) ning davri T/|k|: sin 3x → 2π/3, tg(x/2) → 2π. Sababi: argument k marta tez o‘zgaradi, demak to‘liq tebranish k marta tez tugaydi.
• |sin x|, sin²x ning davri π (manfiy qism «ag‘dariladi»).
• Yig‘indi davri — davrlarning eng kichik umumiy karralisi: sin 2x + cos 3x → EKUK(π; 2π/3) = 2π.

Davriy funksiyada katta argumentni davrga ayirib kichraytirish mumkin: f(x) ning davri T bo‘lsa, f(x + nT) = f(x).

Misol

y = sin(x/3) + tg(x/2) ning davrini toping.

1. sin(x/3) → 2π : (1/3) = 6π.
2. tg(x/2) → π : (1/2) = 2π.
3. EKUK(6π; 2π) = 6π.

Misol

f — toq funksiya, davri 4, f(1) = 2. f(7) ni toping.

1. Davriylik: f(7) = f(7 − 8) = f(−1).
2. Toqlik: f(−1) = −f(1).
3. f(7) = −2.

§4. Chegaralanganlik, eng katta va eng kichik qiymat

Funksiya yuqoridan chegaralangan, agar f(x) ≤ M bo‘ladigan M son mavjud bo‘lsa; quyidan chegaralangan — f(x) ≥ m. Ikkalasi bajarilsa — chegaralangan. Masalan, sin x chegaralangan, x² faqat quyidan chegaralangan, x³ chegaralanmagan.
Qiymatlar to‘plami E(f). y = sin x uchun E = [−1; 1].

Bu formula yordamchi burchak kiritishdan chiqadi: a sin x + b cos x = √(a² + b²)·sin(x + φ).

Misol

y = 3 sin x + 4 cos x − 2 ning eng katta qiymatini toping.

1. 3 sin x + 4 cos x ning eng kattasi √(9 + 16) = 5.
2. y ning eng kattasi: 5 − 2 = 3.

§5. Nollar va ishora saqlash oraliqlari

Funksiya nollari — f(x) = 0 bo‘ladigan x lar; grafik Ox o‘qini shu nuqtalarda kesadi. Nollar va funksiya aniqlanmagan nuqtalar sohani ishora saqlash oraliqlariga ajratadi: har bir oraliq ichida funksiya ishorasini o‘zgartirmaydi (uzluksiz bo‘lgani uchun). Bu — oraliqlar usulining asosi.

Misol

y = (x − 1)(x + 2)/(x − 3) qayerda musbat?

1. Nollar: x = 1, x = −2; aniqlanmagan nuqta: x = 3.
2. x > 3 da hamma ko‘paytuvchi musbat → y > 0.
3. Har bir oddiy nuqtadan o‘tganda ishora almashadi: (1; 3) da −, (−2; 1) da +, x < −2 da −.
4. Javob: y > 0 da x ∈ (−2; 1) ∪ (3; +∞).

O‘zingizni tekshiring

1. f(x) = x³ − 5x juftmi yoki toqmi?

2. f(x) = x² cos x + |x| juftmi yoki toqmi?

3. y = cos 4x ning asosiy davri.

4. y = sin 2x + cos 3x ning davri.

5. x⁵ + x = 2 tenglamaning nechta ildizi bor?

6. y = 5 − 2 sin x ning qiymatlar sohasi.

7. f — juft funksiya, davri 6, f(2) = 5. f(−8) ni toping.

8. y = 5 sin x − 12 cos x ning eng kichik qiymati.

Ko‘p uchraydigan xatolar

• Aniqlanish sohasining simmetrikligini tekshirmaslik (√x, lg x bor funksiyalar).
• «Na juft, na toq» variantini unutish.
• sin kx davrini 2πk deb hisoblash — to‘g‘risi 2π/|k|.
• Butun o‘qda monotonlik haqida xulosa chiqarish, oraliqlarni ajratmaslik.
• Yig‘indi davrini davrlar yig‘indisi yoki ko‘paytmasi deb olish — EKUK kerak.
• Ishora oraliqlarida funksiya aniqlanmagan nuqtalarni hisobga olmaslik.