Avval o‘rganing: Butun sonlar va modul
Daraja — takroriy ko‘paytirishning qisqa yozuvi: 2·2·2·2·2 o‘rniga 2⁵ yozamiz. Daraja xossalari ildizlar, ko‘rsatkichli va logarifmik tenglamalar, sonlarning standart shakli va algebraik ifodalarni soddalashtirishning asosidir. Fizikada katta va kichik kattaliklar (3·10⁸ m/s, 1,6·10⁻¹⁹ C) ham darajalar orqali yoziladi. Bu darsda ta’riflar nima uchun aynan shunday tanlanganini va xossalarni qachon qo‘llash mumkin emasligini ham tushuntiramiz.
aⁿ = a·a·…·a (n ta ko‘paytuvchi), a¹ = a
a — asos, n — ko‘rsatkich, aⁿ — daraja. Ikkinchi daraja «kvadrat», uchinchi daraja «kub» deb ham ataladi — chunki tomoni a bo‘lgan kvadrat yuzi a², kub hajmi a³.
Ishora qoidalari ko‘paytirish qoidasidan kelib chiqadi:
aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
(ab)ⁿ = aⁿbⁿ, (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
Har bir xossa ta’rifdan to‘g‘ridan-to‘g‘ri chiqadi. Masalan, a³·a² = (a·a·a)·(a·a) = a⁵ — ko‘paytuvchilarni sanasak, 3 + 2 = 5. (a³)² = a³·a³ = a⁶ — bu yerda ko‘rsatkichlar ko‘paytiriladi.
Xossalar faqat bir xil asos (ko‘paytirish va bo‘lishda) yoki bir xil ko‘rsatkich uchun ishlaydi. Yig‘indi uchun xossa yo‘q: 2³ + 2⁴ ni 2⁷ ga aylantirib bo‘lmaydi. Buning o‘rniga umumiy ko‘paytuvchini qavsdan chiqaramiz: 2³ + 2⁴ = 2³(1 + 2) = 24.
Turli asoslarni bitta asosga keltirish ko‘p yordam beradi: 4 = 2², 8 = 2³, 27 = 3³, 0,25 = 2⁻².
(2²⁰ + 2¹⁸)/(5·2¹⁷) ni hisoblang.
a⁰ = 1 (a ≠ 0), a⁻ⁿ = 1/aⁿ, (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ
a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) (a > 0)
Bu ta’riflar «o‘ylab topilgan» emas — ular xossalar saqlanishi uchun majburan shunday tanlangan. aⁿ : aⁿ = 1, ikkinchi tomondan xossa bo‘yicha aⁿ⁻ⁿ = a⁰, demak a⁰ = 1. Xuddi shunday a⁰ : aⁿ = a⁻ⁿ, ya’ni a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Kasr ko‘rsatkich uchun (a^(1/n))ⁿ = a¹ = a bo‘lishi kerak, demak a^(1/n) = ⁿ√a.
0⁰ va 0 ning manfiy darajasi aniqlanmagan (nolga bo‘lish kelib chiqadi).
Misollar: (0,5)⁻³ = 2³ = 8, 27^(2/3) = (∛27)² = 9, 16^(−3/4) = 1/(⁴√16)³ = 1/8.
n = −3, m = −2, k = 3 bo‘lsa, (4n²/m)² · k/(m²n²) : k³/(mn)³ · mk²/n³ ning qiymatini toping.
Avval soddalashtirish hisobni oson va xatosiz qiladi: m va k umuman kerak bo‘lmay qoldi.
Taqqoslash uchun asoslarni yoki ko‘rsatkichlarni bir xil qilamiz.
Bir xil ko‘rsatkichda (n > 0, asoslar musbat): asosi katta bo‘lgan daraja katta
a > 1 da daraja ko‘rsatkich bilan o‘sadi, 0 < a < 1 da kamayadi
Masalan, 0,5³ < 0,5², chunki 0,125 < 0,25: birdan kichik sonni ko‘paytirgan sari u kichrayadi.
5⁴⁰ va 4⁵⁰ ni taqqoslang.
Darajaning oxirgi raqami faqat asosning oxirgi raqamiga bog‘liq va davriy takrorlanadi:
2: 2, 4, 8, 6; 3: 3, 9, 7, 1; 7: 7, 9, 3, 1; 8: 8, 4, 2, 6 (davr 4)
4: 4, 6; 9: 9, 1 (davr 2); 0, 1, 5, 6 — o‘zgarmaydi
Usul: ko‘rsatkichni davr uzunligiga bo‘lamiz; qoldiq r bo‘lsa, davrning r-a’zosini olamiz, qoldiq 0 bo‘lsa — oxirgi a’zosini.
3¹⁰⁰ ning oxirgi raqamini toping.
a·10ⁿ, 1 ≤ a < 10, n — butun son
n — sonning tartibi. Katta sonlarda n musbat, birdan kichik sonlarda manfiy: 0,000 52 = 5,2·10⁻⁴ (vergul 4 xona o‘ngga surildi).
Ko‘paytirishda mantissalar ko‘paytiriladi, darajalar qo‘shiladi, keyin natija standart shaklga keltiriladi: (3·10⁵)·(4·10⁻²) = 12·10³ = 1,2·10⁴.
Bo‘lishda esa mantissalar bo‘linadi, darajalar ayiriladi: (6·10⁸) : (2·10⁻³) = 3·10¹¹. Standart shakldagi ikki musbat sonni taqqoslashda avval tartiblar solishtiriladi: tartibi katta son katta; tartiblar teng bo‘lsa, mantissalar solishtiriladi. Masalan, 9,9·10⁴ < 1,1·10⁵, garchi 9,9 > 1,1 bo‘lsa ham.
Murakkab ifodada quyidagi tartib deyarli har doim ishlaydi:
Bu usul ko‘rsatkichda harf bo‘lganda ham ishlaydi: harflar qisqarib ketadi va javob son bo‘lib chiqadi. Aynan shu ko‘nikma keyinchalik 2ˣ = 32 kabi ko‘rsatkichli tenglamalarni yechishda kerak bo‘ladi: ikki tomonni bir xil asosga keltirsak, ko‘rsatkichlarni tenglashtirish mumkin (2ˣ = 2⁵ → x = 5).
Bir xil asosga keltirish — darajali ifodalar bilan ishlashning asosiy usuli
9ⁿ·27 : 3²ⁿ⁺¹ ni soddalashtiring.
(8^(2/3) + 81^(1/4))·2⁻¹ ni hisoblang.