Avval o‘rganing: Natural sonlar va amallar
Butun sonlar manfiy qiymatlarni — qarzni, sovuqni, dengiz sathidan pastdagi chuqurlikni, pastga harakatni — ifodalaydi. Ular bilan amallar bajarishda ishoralar qoidasini puxta bilish shart: imtihondagi hisob xatolarining katta qismi aynan minus belgisi bilan bog‘liq. Modul esa «masofa» tushunchasi: u tenglama va tengsizliklarda, funksiyalarda, geometriyada va koordinatalarda qayta-qayta uchraydi. Bu darsda butun sonlar to‘plami, amallar, juft-toqlik, qoldiqli bo‘lish va modulli tenglama-tengsizliklarni ko‘rib chiqamiz.
Z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …} — natural sonlar, ularga qarama-qarshi sonlar va nol.
Butun sonlar to‘plami qo‘shish, ayirish va ko‘paytirishga nisbatan yopiq: ikki butun sonning yig‘indisi, ayirmasi va ko‘paytmasi yana butun son. Bo‘lish esa har doim ham butun son bermaydi — shuning uchun keyinchalik ratsional sonlar kerak bo‘ladi.
Ko‘paytirish va bo‘lishda: (+)(+) = +, (−)(−) = +, (+)(−) = −
Qo‘shishda: ishoralar bir xil bo‘lsa — modullar qo‘shiladi; har xil bo‘lsa — kattasidan kichigi ayiriladi, ishora moduli kattaniki
Nega minusga minus plyus beradi? Taqsimot qonuni saqlanishi uchun: (−1)·(1 + (−1)) = (−1)·0 = 0. Qavsni ochsak (−1)·1 + (−1)·(−1) = 0, ya’ni −1 + (−1)·(−1) = 0, demak (−1)·(−1) = 1.
Amallar tartibi: avval qavslar, keyin daraja, keyin ko‘paytirish va bo‘lish (chapdan o‘ngga), oxirida qo‘shish va ayirish.
−3·(−4) − 12 : (−6) + (−1)²⁰²⁵ ni hisoblang.
Juft sonlar 2k, toq sonlar 2k + 1 ko‘rinishida (k ∈ Z); nol — juft son, −3 — toq son.
juft ± juft = juft; toq ± toq = juft; juft ± toq = toq
ko‘paytmada bitta juft ko‘paytuvchi bo‘lsa, ko‘paytma juft
Butun sonni natural songa qoldiqli bo‘lish: a = bq + r, bunda 0 ≤ r < b. Qoldiq har doim manfiy emas, hatto a manfiy bo‘lsa ham. Masalan, −17 ni 5 ga bo‘lsak, −17 = 5·(−4) + 3: to‘liqsiz bo‘linma −4, qoldiq 3 (−3 emas!).
Ketma-ket butun sonlar: n, n + 1 dan biri albatta juft; n, n + 1, n + 2 dan biri albatta 3 ga bo‘linadi. Shuning uchun n(n + 1) doim juft.
−10 dan 12 gacha bo‘lgan barcha butun sonlar yig‘indisini toping.
|a| = a, agar a ≥ 0; |a| = −a, agar a < 0
Ta’rifdagi −a ni «manfiy son» deb o‘qimang: a < 0 bo‘lganda −a musbat. Masalan, |−5| = −(−5) = 5.
Geometrik ma’nosi: |a| — son o‘qida a nuqtadan nolgacha masofa; |a − b| — a va b nuqtalar orasidagi masofa. Masalan, −7 va 4 orasidagi masofa |4 − (−7)| = 11.
Xossalari:
|a| ≥ 0, |−a| = |a|, |ab| = |a|·|b|, |a/b| = |a|/|b|, |a|² = a², √(a²) = |a|
Uchburchak tengsizligi: |a + b| ≤ |a| + |b|
Uchburchak tengsizligida tenglik a va b bir xil ishorali (yoki biri nol) bo‘lganda bajariladi.
|x| = a (a > 0): x = ±a; a = 0 bo‘lsa x = 0; a < 0 bo‘lsa, yechim yo‘q
Ichida ifoda bo‘lsa, xuddi shunday: |x − 3| = 5 → x − 3 = ±5 → x = 8 yoki x = −2. Geometrik ma’no: 3 dan 5 birlik uzoqdagi nuqtalar.
O‘ng tomonda x qatnashsa (|f(x)| = g(x)), oldin g(x) ≥ 0 shartini yozib olish yoki har bir ildizni tekshirish kerak.
Bir nechta modul bo‘lsa — oraliqlar usuli: har bir modul ichini nolga aylantiradigan nuqtalar son o‘qini oraliqlarga bo‘ladi, har oraliqda modullar mos ishora bilan ochiladi va topilgan ildiz shu oraliqqa tegishliligi tekshiriladi.
|x − 1| + |x + 2| = 5 ni yeching.
Geometrik tekshiruv: x dan 1 gacha va −2 gacha masofalar yig‘indisi 5; ular orasidagi masofa 3, demak x kesmadan tashqarida, chetlardan 1 ga uzoqda.
|x − 4| = 2x − 1 ni yeching.
|x| < a: −a < x < a; |x| > a: x < −a yoki x > a
Masofa tilida: |x| < a — noldan a dan yaqin nuqtalar (bitta oraliq), |x| > a — a dan uzoq nuqtalar (ikki nur).
|x − 2| ≤ 3 tengsizlikning butun yechimlari nechta?