Ratsional va irratsional sonlar

Haqiqiy sonlar son o‘qining barcha nuqtalarini «bo‘shliqsiz» to‘ldiradi: har bir nuqtaga bitta son, har bir songa bitta nuqta mos keladi. Tarixda sonlar to‘plami bosqichma-bosqich kengaygan: sanash uchun natural sonlar, ayirish uchun butun sonlar, bo‘lish uchun ratsional sonlar, kvadrat ildiz chiqarish va uzunliklarni o‘lchash uchun esa irratsional sonlar kerak bo‘lgan. Imtihonda sonlarni to‘plamlarga ajratish, davriy kasrni oddiy kasrga aylantirish, ildizli sonlarni taqqoslash va ratsional-irratsionallikni aniqlash savollari tez-tez uchraydi.

§1. Sonli to‘plamlar zanjiri

• Natural sonlar N = {1, 2, 3, …} — sanash uchun.
• Butun sonlar Z — natural sonlar, ularga qarama-qarshi sonlar va nol.
• Ratsional sonlar Q — p/q ko‘rinishidagi sonlar (p ∈ Z, q ∈ N). Har bir butun son ham ratsional: 5 = 5/1.
• Irratsional sonlar — p/q ko‘rinishida yozib bo‘lmaydigan sonlar: √2 = 1,4142…, π = 3,1415…, e = 2,718….
• Haqiqiy sonlar R — ratsional va irratsional sonlar birgalikda.

√n (n natural) ratsional faqat n to‘liq kvadrat bo‘lganda: √16 = 4, lekin √5 irratsional. Xuddi shunday ∛n faqat n to‘liq kub bo‘lsa ratsional.

§2. O‘nli yozuv: chekli, davriy va davriy bo‘lmagan

Nega ratsional son davriy bo‘ladi? p ni q ga burchak usulida bo‘lganda qoldiqlar faqat 0, 1, …, q − 1 bo‘lishi mumkin. Ko‘pi bilan q qadamdan keyin qoldiq takrorlanadi va raqamlar ham takrorlana boshlaydi: 1/7 = 0,(142857).
Qisqarmas kasr chekli o‘nli kasrga aylanadi, faqat maxraj 2 va 5 dan boshqa tub ko‘paytuvchiga ega bo‘lmasa: 3/8 = 0,375, lekin 1/3 = 0,(3).
Davriy kasrni oddiy kasrga aylantirish:

Qoida: suratga «verguldan keyingi butun raqamlar ketma-ketligi minus davrgacha bo‘lgan qism», maxrajga davrdagi raqamlar soniga teng to‘qqizlar va davrgacha bo‘lgan raqamlar soniga teng nollar yoziladi.

Misol

0,(27) va 0,2(3) ni oddiy kasrga aylantiring.

1. 0,(27) = 27/99 = 3/11.
2. 0,2(3) = (23 − 2)/90 = 21/90.
3. Qisqartiramiz: 21/90 = 7/30.

§3. Nega √2 irratsional

Faraz qilaylik, √2 = p/q qisqarmas kasr. Unda p² = 2q² — p² juft, demak p juft: p = 2k. Shunda 4k² = 2q², q² = 2k² — q ham juft. Ikkalasi juft — kasr qisqaradi, bu farazga zid. Demak, √2 ratsional emas.
Bu teskarisidan isbotlash usuli: tasdiqning teskarisini faraz qilib, ziddiyatga kelamiz. Xuddi shunday √3, √5 va to‘liq kvadrat bo‘lmagan har qanday natural sonning ildizi irratsional ekani isbotlanadi.

§4. Amallar natijasining turi

• Ratsional ± ratsional, ratsional × ratsional — ratsional; nolga teng bo‘lmagan songa bo‘lish ham ratsional beradi.
• Ratsional + irratsional — har doim irratsional: 1 + √2. (Agar 1 + √2 = r ratsional bo‘lsa, √2 = r − 1 ham ratsional bo‘lardi.)
• Nolga teng bo‘lmagan ratsional × irratsional — irratsional: 3√2.
• Irratsional ± irratsional yoki × — ratsional ham bo‘lishi mumkin: √2 + (2 − √2) = 2, √2·√8 = 4.

Misol

(√3 − 1)² + 2√3 ratsional sonmi?

1. Kvadratni ochamiz: (√3 − 1)² = 3 − 2√3 + 1 = 4 − 2√3.
2. 4 − 2√3 + 2√3 = 4.
3. Javob: ha, ifoda 4 ga teng — ratsional.

§5. Taqqoslash va baholash

Ildizli ifodalarni taqqoslashda ikkalasini ildiz ostiga kiritamiz yoki kvadratga ko‘taramiz (musbat sonlar uchun tartib saqlanadi):

Misol (rasmiy namunadan)

a = 6, b = 4√2, c = 2√10 ni o‘sish tartibida joylashtiring.

1. Kvadratlar: a² = 36, b² = 16·2 = 32, c² = 4·10 = 40.
2. 32 < 36 < 40.
3. Demak, b < a < c.

Baholash: √50 qaysi butun sonlar orasida? 49 < 50 < 64 → 7 < √50 < 8; 50 soni 49 ga yaqin, shuning uchun √50 ≈ 7,07.

§6. Son o‘qi, oraliqlar va yaxlitlash

−2 < x ≤ 5 → (−2; 5]. Cheksizlik son emas, unga «yetib bo‘lmaydi», shuning uchun uning oldida har doim yumaloq qavs.
Standart shakl: a·10ⁿ, 1 ≤ a < 10: 0,000 32 = 3,2·10⁻⁴, 45 000 = 4,5·10⁴.
Yaxlitlash: tashlanadigan birinchi raqam ≥ 5 bo‘lsa, oldingi raqam bittaga oshiriladi: 3,1415 ≈ 3,14, 2,718 ≈ 2,72. Irratsional sonlar bilan amaliy hisoblarda doim ularning taqribiy qiymatlari ishlatiladi.

§7. Oraliqlar ustida amallar va zichlik

Tengsizliklar va tenglamalar sistemalarini yechishda oraliqlarning kesishmasi (∩, ikkalasiga ham tegishli sonlar) va birlashmasi (∪, hech bo‘lmaganda bittasiga tegishli sonlar) kerak bo‘ladi. Ularni son o‘qida chizib topish eng ishonchli yo‘l: har bir oraliqni alohida chiziq bilan belgilab, umumiy qismni yoki butun qamrovni o‘qiymiz.

Haqiqiy sonlarning muhim xossasi — zichlik: istalgan ikki turli son orasida cheksiz ko‘p ratsional va cheksiz ko‘p irratsional son bor. Masalan, a va b orasida ularning o‘rta arifmetigi (a + b)/2 yotadi.

Misol

A = [−2; 5) va B = (1; 7] oraliqlarning kesishmasi va birlashmasini toping.

1. Son o‘qida belgilaymiz: A — −2 dan (kiradi) 5 gacha (kirmaydi), B — 1 dan (kirmaydi) 7 gacha (kiradi).
2. Umumiy qism: 1 dan 5 gacha, ikkala uchi ham kirmaydi — A ∩ B = (1; 5).
3. Butun qamrov: −2 dan 7 gacha — A ∪ B = [−2; 7].

Misol

√2 va √3 orasidagi bitta ratsional sonni toping.

1. Kvadratlar orasida ishlaymiz: 2 < x² < 3.
2. x = 1,5 uchun x² = 2,25, bu 2 va 3 orasida.
3. Demak, √2 < 1,5 < √3.

O‘zingizni tekshiring

1. √16, √5, 0,(3), π — qaysilari ratsional?

2. 3√2 va 2√5 ni taqqoslang.

3. √50 qaysi ketma-ket butun sonlar orasida?

4. 0,000 32 ni standart shaklda yozing.

5. √2 va 2 − √2 yig‘indisi ratsionalmi?

6. −2 < x ≤ 5 ni oraliq ko‘rinishida yozing.

7. 0,1(6) ni oddiy kasrga aylantiring.

8. 7/40 chekli o‘nli kasrga aylanadimi?

Ko‘p uchraydigan xatolar

• Har qanday cheksiz o‘nli kasrni irratsional deb hisoblash — davriy kasr ratsional.
• Ikki irratsional son yig‘indisi albatta irratsional deb aytish.
• Ildizli sonlarni taqqoslashda koeffitsiyentni ildiz ostiga kvadratsiz kiritish: 2√10 ≠ √20, to‘g‘risi √40.
• Cheksizlikni kvadrat qavsga olish: [a; +∞] emas, [a; +∞).
• Aralash davriy kasrni sof davriy kabi aylantirish: 0,2(3) ≠ 23/99.
• Manfiy sonlarni kvadratga ko‘tarib taqqoslash — tartib faqat manfiy bo‘lmagan sonlar uchun saqlanadi.