Avval o‘rganing: Oddiy va o‘nli kasrlar
Foiz — kundalik hayotdagi eng ko‘p ishlatiladigan matematika: chegirma, kredit, omonat, soliq, ish haqi oshishi, imtihon natijasi — hammasi foizda o‘lchanadi. Imtihonda foiz masalalari deyarli har bir variantda bor va ko‘pincha «tuzoq» bilan keladi: ketma-ket o‘zgarishlar, noto‘g‘ri asos, murakkab foiz. Bu darsda foizning ma’nosidan boshlab, uch asosiy masala, ketma-ket o‘zgarishlar, murakkab foiz va aralashma masalalarini sabablari bilan ko‘rib chiqamiz. Foiz mavzusi nisbat va proporsiya, kasrlar va ko‘rsatkichli funksiya bilan chambarchas bog‘liq.
Foiz — sonning yuzdan bir qismi: 1% = 1/100. Demak p% = p/100; 25% = 0,25 = 1/4, 150% = 1,5. Foizni o‘nli kasrga o‘tkazish uchun vergulni ikki xona chapga suramiz, aksincha — o‘ngga.
Barcha foiz masalalari uchta asosiy turga keltiriladi:
1) Sonning p% i: a·p/100
2) Foiziga ko‘ra sonni topish: b : (p/100)
3) Ikki sonning foiz nisbati: b/a·100%
Bu uch formula aslida bitta proporsiyaning uch ko‘rinishi: «a — 100%, b — p%». Qaysi kattalik noma’lum bo‘lsa, shuni topamiz.
Foydali moslik: 10% = 1/10, 20% = 1/5, 25% = 1/4, 50% = 1/2, 12,5% = 1/8, 33⅓% = 1/3. Ular og‘zaki hisobni ancha tezlashtiradi: 240 ning 25% i — shunchaki 240 : 4 = 60.
Eni va bo‘yi 2,4 m va 4 m bo‘lgan gilam 4 m × 6 m xonaga to‘shalgan. Gilam xona yuzining necha foizini egallaydi?
p% ga oshirish: a·(1 + p/100); p% ga kamaytirish: a·(1 − p/100)
Nega ko‘paytiriladi? a ga uning p% ini qo‘shsak: a + a·p/100 = a(1 + p/100). Qavsdagi son — o‘zgarish koeffitsiyenti: +15% → 1,15, −30% → 0,7.
Ketma-ket o‘zgarishlar ko‘paytiriladi, qo‘shilmaydi, chunki har bir keyingi foiz yangi qiymatdan olinadi:
O‘zgarish foizi: (yangi − eski)/eski·100%
Narx 50 000 so‘m edi, 20% oshdi, so‘ng 10% arzonladi. Yakuniy narx va umumiy o‘zgarish?
Sexda ishchilar soni 20% ga ko‘paydi, har bir ishchining unumdorligi esa 25% ga oshdi. Mahsulot hajmi necha foizga oshdi?
Ko‘p uchraydigan tuzoq: «chegirmadan keyin narx 48 000 so‘m, chegirma 20%. Asl narx?» Ko‘pchilik 48 000 ga 20% qo‘shadi va 57 600 oladi — bu xato, chunki 20% asl narxdan olingan, yangi narxdan emas.
Yangi qiymat = asl qiymat × koeffitsiyent → asl qiymat = yangi qiymat : koeffitsiyent
20% chegirmadan keyin mahsulot 48 000 so‘m turadi. Asl narxi qancha edi?
Foiz har doim qaysi songa nisbatan hisoblanayotganiga bog‘liq. «A son B dan ... ko‘p» jumlasida asos — B (taqqoslanayotgan son).
p% ga ko‘p bo‘lsa, ikkinchisi p/(100 + p)·100% ga kam
Masalan, olma nokdan 25% qimmat bo‘lsa, nok olmadan 20% arzon; olma nokdan 100% qimmat (ikki baravar) bo‘lsa, nok olmadan 50% arzon. Shu sababli «ko‘p» va «kam» foizlari hech qachon teng bo‘lmaydi — asoslar har xil.
Foiz punkt va foizni farqlang: stavka 10% dan 12% ga oshsa, bu 2 foiz punktga, lekin nisbiy jihatdan 20% ga oshish.
Har davrda p% qo‘shilib, keyingi foiz yangi summaga hisoblansa (bank omonati, aholi o‘sishi):
Murakkab foiz: S = S₀·(1 + p/100)ⁿ
Oddiy foiz: S = S₀·(1 + n·p/100) — foiz faqat dastlabki summaga
Murakkab foizda summa geometrik progressiya bo‘yicha, oddiy foizda — arifmetik progressiya bo‘yicha o‘sadi. Shuning uchun uzoq muddatda murakkab foiz ancha katta natija beradi.
1 000 000 so‘m yillik 10% murakkab foiz bilan 2 yilga qo‘yildi.
Eritma konsentratsiyasi — modda massasining eritma massasiga nisbati:
ω = m(modda)/m(eritma)·100%
Asosiy g‘oya: o‘zgarmaydigan kattalikni topish. Suv qo‘shilganda yoki bug‘langanda modda massasi o‘zgarmaydi, faqat eritma massasi o‘zgaradi. Ikki eritma aralashtirilsa, moddalar massalari qo‘shiladi. Mevani quritishda suv kamayadi, quruq modda massasi esa saqlanadi.
15% li 200 g tuz eritmasiga 50 g suv qo‘shildi. Yangi konsentratsiya?
Yangi mevada 80% suv, quritilganida 20% suv. 10 kg quritilgan meva olish uchun necha kg yangi meva kerak?