Avval o‘rganing: Oddiy va o‘nli kasrlar
Nisbat va proporsiya — «matnli masalalar»ning til va grammatikasi. Xarita masshtabi, ovqat retsepti, ishchilar va kunlar, pulni sheriklar orasida bo‘lish, qotishma tarkibi — barchasi shu mavzuga tayanadi. Imtihonda bu mavzu ham alohida savol sifatida, ham foiz, geometriya (o‘xshashlik) va fizika masalalari ichida uchraydi. Bu darsda nisbatni soddalashtirish, proporsiyaning asosiy xossasi, to‘g‘ri va teskari proporsionallik, sonni berilgan nisbatda bo‘lish, masshtab va aralashma masalalarini ko‘ramiz.
Ikki sonning nisbati — ularning bo‘linmasi: a : b = a/b. Nisbat bir son ikkinchisidan necha marta katta ekanini yoki bir son ikkinchisining qanday qismini tashkil etishini ko‘rsatadi. Masalan, sinfda 12 o‘g‘il va 18 qiz bo‘lsa, o‘g‘il bolalar va qizlar nisbati 12 : 18 = 2 : 3.
2 : 3 nisbat «butunning 2/5 qismi va 3/5 qismi» degani ham: jami 2 + 3 = 5 qism bor. Bu fikr §4 dagi barcha masalalarning asosi.
Proporsiya — ikki nisbatning tengligi: a : b = c : d. a va d — chetki hadlar, b va c — o‘rta hadlar.
Asosiy xossa: a·d = b·c (chetki hadlar ko‘paytmasi = o‘rta hadlar ko‘paytmasi)
Xossa a/b = c/d tenglikning ikki tomonini bd ga ko‘paytirishdan kelib chiqadi. Undan noma’lum hadni topish qoidasi: chetki had = o‘rta hadlar ko‘paytmasi / ma’lum chetki had (x = (b·c)/d), o‘rta had = chetki hadlar ko‘paytmasi / ma’lum o‘rta had.
Proporsiyada o‘rta hadlarni yoki chetki hadlarni o‘rnini almashtirish mumkin: a : b = c : d dan a : c = b : d va d : b = c : a kelib chiqadi. Bundan tashqari, «hosilaviy proporsiya» foydali: a : b = c : d bo‘lsa, (a + b) : b = (c + d) : d.
x : 12 = 5 : 3 dan x ni toping.
To‘g‘ri: x₁/x₂ = y₁/y₂; teskari: x₁/x₂ = y₂/y₁
Masalani yechishdan oldin doim savol bering: «biri ortsa, ikkinchisi ortadimi yoki kamayadimi?». Agar ikkala kattalik ham bir-biriga bog‘liq bo‘lmasa (masalan, odamning yoshi va bo‘yi), proporsiya tuzib bo‘lmaydi.
6 ishchi ishni 10 kunda bajaradi. 15 ishchi necha kunda bajaradi?
S ni a : b : c nisbatda bo‘lish uchun avval bir qismni topamiz:
1 qism q = S/(a + b + c), qismlar: a·q, b·q, c·q
Uchta kattalik bog‘langan zanjirli nisbatlarda (a : b va b : c) umumiy had b ni bir xil songa keltiramiz. Masalan, a : b = 3 : 4, b : c = 6 : 5 bo‘lsa, b ni 12 ga keltiramiz: 9 : 12 va 12 : 10, demak a : b : c = 9 : 12 : 10.
«Necha marta ko‘p/kam» shartlarida noma’lumni eng kichik yoki eng qulay kattalik uchun tanlash hisobni osonlashtiradi.
Do‘kon 3 kunda 175 kg kartoshka sotdi. Ikkinchi kun uchinchi kundan 1,5 marta ko‘p, birinchi kun ikkinchi kundan 2,4 marta kam sotgan. Birinchi kun necha kg sotilgan?
Masshtab 1 : n — xaritadagi 1 birlik joyda n birlikka teng. Masalan, 1 : 50 000 da 1 sm = 50 000 sm = 500 m.
Yuzalar nisbati chiziqli o‘lchamlar nisbatining kvadratiga teng: masshtab 1 : n bo‘lsa, yuzalar 1 : n²; hajmlar esa 1 : n³. Masalan, 1 : 10 000 masshtabli xaritada 1 sm = 100 m, shuning uchun 1 sm² = 10 000 m² = 1 gektar; xaritada 3 sm² bo‘lgan maydon joyda 3 gektar.
Komponentlar nisbatda berilsa, avval «bir qism»ni toping. Aralashmaga biror modda qo‘shilganda yoki olib tashlanganda o‘zgarmay qolgan komponentni kuzatish masalani soddalashtiradi.
Mis va ruxdan iborat 40 kg qotishmada mis va rux nisbati 3 : 2. Mis va rux teng bo‘lishi uchun qancha rux qo‘shish kerak?