Natural sonlar — matematikaning poydevori. Imtihonda ular alohida mavzu sifatida kam uchraydi, lekin deyarli har bir masalada amallar tartibi, qoldiqli bo‘lish yoki natural yechimlarni saralash kerak bo‘ladi. Shu darsda sanoq tizimidan tortib "eng kichik qiymat" turidagi masalalargacha ko‘rib chiqamiz.
Natural sonlar — narsalarni sanashda ishlatiladigan sonlar: 1, 2, 3, …. Ular to‘plami N harfi bilan belgilanadi. Nol natural son emas — bu imtihonda tez-tez tekshiriladigan nozik joy.
Ikki xonali son: ab = 10a + b; uch xonali son: abc = 100a + 10b + c (a ≠ 0)
Bu yoyilma raqamlar haqidagi masalalarning kaliti. Masalan, ikki xonali son va uning raqamlari o‘rni almashgan son ayirmasi har doim 9 ga bo‘linadi: (10a + b) − (10b + a) = 9(a − b).
n xonali sonlar soni: 9·10ⁿ⁻¹ (ikki xonali — 90 ta, uch xonali — 900 ta)
Qo‘shish va ko‘paytirish natijasi har doim natural son. Ayirish va bo‘lish natijasi esa natural bo‘lmasligi mumkin: 3 − 5, 7 : 2.
O‘rin almashtirish: a + b = b + a, a·b = b·a
Guruhlash: (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc)
Taqsimot: a·(b + c) = a·b + a·c
Taqsimot qonuni og‘zaki hisobda juda qulay: 37·99 = 37·(100 − 1) = 3700 − 37 = 3663.
Amallar tartibi: 1) qavs ichi; 2) daraja; 3) ko‘paytirish va bo‘lish (chapdan o‘ngga); 4) qo‘shish va ayirish (chapdan o‘ngga).
48 : 4·3 − 2·(5 − 3)² ni hisoblang.
Diqqat: 48 : 4·3 — bu 48 : 12 = 4 emas, chunki amallar chapdan o‘ngga bajariladi.
Har qanday a va b > 0 uchun yagona q (bo‘linma) va r (qoldiq) topiladi:
a = b·q + r, bunda 0 ≤ r < b
Qoldiqlar bilan ishlash qoidasi: yig‘indi va ko‘paytmaning qoldig‘i qo‘shiluvchilar (ko‘paytuvchilar) qoldiqlaridan topiladi. Masalan, 23·17 ni 5 ga bo‘lganda: 23 → 3, 17 → 2, 3·2 = 6 → 1. Demak, qoldiq 1.
Son 7 ga bo‘linganda bo‘linma 15, qoldiq 4 chiqdi. Sonni toping.
Natural sonlar ustidagi masalalar ko‘pincha to‘plam tilida beriladi.
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
U = {x | −10 ≤ x ≤ 10, x ∈ Z}, A = {−7, …, 3}, B = {−3, …, 7}. A ∪ B ning to‘ldiruvchisida nechta element bor?
"Natural sonlar uchun ... eng kichik qiymatni toping" turidagi masalalarda barcha mumkin bo‘lgan juftliklarni tartib bilan yozib chiqish eng ishonchli yo‘l.
a·b = 30 bo‘lsa, a + 2b − 1 ning eng kichik qiymati?
Mantiq: b ga ikki barobar og‘irlik berilgan, shuning uchun b kichikroq, lekin a haddan tashqari katta bo‘lmagan juftlik qidiriladi.
O‘nli sanoq tizimida har bir raqamning qiymati uning turgan xonasiga bog‘liq (§1). Shu sababli raqamlar haqidagi masalalarda sonni xona qo‘shiluvchilari yig‘indisi ko‘rinishida yozish asosiy usul hisoblanadi.
Ikki xonali son: ab = 10a + b, bunda a ∈ {1, …, 9}, b ∈ {0, …, 9}
Uch xonali son: abc = 100a + 10b + c
Bu yozuvdan bir nechta foydali xulosa kelib chiqadi:
Yana bir mashhur usul — ketma-ket natural sonlar yig‘indisi. Rivoyatlarga ko‘ra, yosh Gauss 1 + 2 + … + 100 ni chetki sonlarni juftlab hisoblagan: 1 + 100 = 2 + 99 = … = 101, bunday juftlar 50 ta, demak yig‘indi 5050. Umumiy holda:
1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2
Raqamli masalada topilgan javobni har doim shartga qo‘yib tekshiring: raqamlar 0 dan 9 gacha bo‘lishi va birinchi raqam 0 bo‘lmasligi kerak.
Ikki xonali sonning raqamlari yig‘indisi 9 ga teng. Raqamlarining o‘rni almashtirilsa, son 27 ga ortadi. Sonni toping.