Maktab dasturi· 25 daqiqa· 21 ta savol
Avval o‘rganing: Natural sonlar va amallar
Bo‘linuvchanlik — natural sonlar arifmetikasining asosi. Bo‘linish alomatlari sonni bo‘lmasdan turib uning biror songa bo‘linish-bo‘linmasligini aytish imkonini beradi. Tub sonlar va tub ko‘paytuvchilarga ajratish har qanday sonning «tarkibini» ochib beradi. EKUB va EKUK esa kasrlarni qisqartirish, umumiy maxrajga keltirish va «qachon yana uchrashadi» turidagi masalalar uchun zarur. Bu mavzu sonlar nazariyasi, kasrlar va tenglamalarning butun yechimlari bilan bevosita bog‘liq.
a son b ga bo‘linadi (a ⋮ b), agar a = b·k bo‘lsa (k — butun son). Bunda b — a ning bo‘luvchisi, a — b ning karralisi.
Bo‘linishning asosiy xossalari:
Tub son — faqat ikkita bo‘luvchisi (1 va o‘zi) bor natural son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …. Murakkab son — ikkitadan ko‘p bo‘luvchisi bor son. 1 na tub, na murakkab. 2 — yagona juft tub son.
Arifmetikaning asosiy teoremasi: har bir murakkab son tub ko‘paytuvchilarga yagona usulda ajraladi
Sonning tubligini tekshirish uchun uni √n dan oshmaydigan tub sonlarga bo‘lib ko‘rish yetarli: agar n = a·b va ikkala ko‘paytuvchi √n dan katta bo‘lsa, ko‘paytma n dan katta bo‘lib qolardi.
2 ga — oxirgi raqam juft; 5 ga — oxirgi raqam 0 yoki 5; 10 ga — oxiri 0
4 ga — oxirgi ikki raqamdan tuzilgan son 4 ga bo‘linsa; 25 ga — oxiri 00, 25, 50, 75
8 ga — oxirgi uch raqamdan tuzilgan son 8 ga bo‘linsa
3 ga — raqamlar yig‘indisi 3 ga bo‘linsa; 9 ga — raqamlar yig‘indisi 9 ga bo‘linsa
11 ga — toq o‘rindagi va juft o‘rindagi raqamlar yig‘indilari ayirmasi 11 ga bo‘linsa
Nega bu alomatlar ishlaydi? 100 soni 4 ga va 25 ga bo‘linadi, shuning uchun sonning yuzlar va undan yuqori qismi doim 4 ga bo‘linadi — faqat oxirgi ikki raqam hal qiladi. 1000 ⋮ 8 bo‘lgani uchun 8 ga oxirgi uch raqam yetarli. 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1 va hokazo, shuning uchun son raqamlari yig‘indisidan 9 ga karrali songa farq qiladi — bu 3 va 9 alomatining sababi.
Murakkab bo‘luvchilar: son 6 ga bo‘linishi uchun 2 ga va 3 ga, 12 ga — 3 ga va 4 ga, 15 ga — 3 ga ga bo‘linishi kerak. Ko‘paytuvchilar bo‘lishi shart: ga bo‘linishni «2 va 6 ga» deb tekshirish xato ( ham 2 ga, ham 6 ga bo‘linadi, lekin 12 ga emas).
918 082 son 11 ga bo‘linadimi?
34*6 to‘rt xonali son 12 ga bo‘linadi. Yulduzcha o‘rniga qaysi raqam turadi?
Ikki sonning har biri bo‘linadigan eng katta son. Topish usullari:
Evklid algoritmi nega to‘g‘ri? a = bq + r bo‘lsa, a va b ning har qanday umumiy bo‘luvchisi r = a − bq ni ham bo‘ladi, va aksincha. Demak, (a, b) va (b, r) juftlarining umumiy bo‘luvchilari bir xil.
EKUB(a, b) = 1 bo‘lsa, sonlar o‘zaro tub: masalan, 8 va 15.
EKUB(84, 126) ni ikki usulda toping.
Har bir songa bo‘linadigan eng kichik natural son. Tub ko‘paytuvchilar eng katta darajalarda olinadi.
EKUB(a, b)·EKUK(a, b) = a·b
EKUK(84, 126) = 2²·3²·7 = 252. Tekshiruv: 42·252 = 10 584 = 84·126.
O‘zaro tub sonlar uchun EKUK(a, b) = a·b. Kasrlarni qo‘shishda umumiy maxraj sifatida aynan EKUK olinadi — shunda hisob eng kichik sonlar bilan bajariladi.
Bir avtobus har 12 daqiqada, ikkinchisi har 18 daqiqada jo‘naydi. Soat 8:00 da birga jo‘nashdi. Keyingi safar qachon birga jo‘nashadi?
Agar n = p₁^a₁ · p₂^a₂ · … · pₖ^aₖ bo‘lsa, n ning har bir bo‘luvchisi p₁^b₁ · … · pₖ^bₖ ko‘rinishida, bunda 0 ≤ bᵢ ≤ aᵢ. Har bir daraja uchun aᵢ + 1 ta tanlov bor.
Bo‘luvchilar soni τ(n) = (a₁ + 1)(a₂ + 1)…(aₖ + 1)
Masalan, 360 = 2³·3²·5, bo‘luvchilar soni 4·3·2 = 24. Bo‘luvchilar soni toq bo‘ladigan sonlar — aynan to‘la kvadratlar (100 ning bo‘luvchilari 9 ta).
a ni b ga qoldiqli bo‘lish: a = bq + r, 0 ≤ r < b. Qoldiq har doim bo‘luvchidan kichik.
«Son 2, 3, 4, 5, 6 ga bo‘linganda har safar 1 qoldiq qoladi» — demak, son − 1 ularning barchasiga bo‘linadi: son − 1 = EKUK(2, 3, 4, 5, 6)·k = 60k. Eng kichigi — 61.
«Har safar qoldiq bo‘luvchidan 1 ta kam» (masalan, 2 ga — 1, 3 ga — 2, 4 ga — 3) bo‘lsa, son + 1 barchasiga bo‘linadi.
5a7 uch xonali son 9 ga bo‘linadi. a ni toping.