Avval o‘rganing: Bo‘linish alomatlari, EKUB va EKUK
Tub sonlar — natural sonlarning "atomlari": har qanday son ulardan ko‘paytma sifatida yagona tarzda yig‘iladi. Bo‘luvchilar soni, bo‘luvchilar yig‘indisi, EKUB va EKUK — barchasi tub ko‘paytuvchilarga ajratishdan boshlanadi. Tub sonlar zamonaviy shifrlash (masalan, internetdagi xavfsiz ulanishlar) asosida ham yotadi: katta sonni tub ko‘paytuvchilarga ajratish juda qiyin ekanidan foydalaniladi. Bu darsda ta’riflar, tublikni tekshirish, arifmetikaning asosiy teoremasi, bo‘luvchilar formulalari va tipik olimpiada uslubidagi masalalar ko‘rib chiqiladi.
100 gacha 25 ta tub son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
Nega 1 tub hisoblanmaydi? Agar 1 tub bo‘lsa, ko‘paytuvchilarga ajratish yagona bo‘lmay qolardi: 6 = 2·3 = 1·2·3 = 1·1·2·3. Ta’rif aynan asosiy teorema ishlashi uchun shunday tanlangan.
2 va 5 dan boshqa tub sonlar 1, 3, 7, 9 raqamlari bilan tugaydi; 3 dan katta har qanday tub son 6k ± 1 ko‘rinishida bo‘ladi (6k, 6k ± 2, 6k + 3 sonlar 2 yoki 3 ga bo‘linadi).
n tubligini tekshirish uchun uni √n dan oshmaydigan tub sonlarga bo‘lib ko‘rish yetarli. Sababi: agar n = a·b va a ≤ b bo‘lsa, a · a ≤ a · b = n, ya’ni a ≤ √n. Demak murakkab sonning albatta √n dan oshmaydigan bo‘luvchisi bor.
Eratosfen g‘alviri: 2 dan n gacha sonlarni yozib, 2 ning, 3 ning, 5 ning karralilarini ketma-ket o‘chiramiz (sonning o‘zidan tashqari); qolganlari tub. √n dan katta tub songa yetganda to‘xtash mumkin — qolgan barcha o‘chirilmagan sonlar tub.
Bo‘linish alomatlari tekshiruvni tezlashtiradi: 2 ga — oxirgi raqam juft; 3 ga — raqamlar yig‘indisi 3 ga bo‘linadi; 5 ga — oxirgi raqam 0 yoki 5; 11 ga — raqamlarning navbat bilan olingan yig‘indilari farqi 11 ga bo‘linadi.
221 tub sonmi?
Har bir 1 dan katta natural son tub ko‘paytuvchilarga yagona tarzda ajraladi (ko‘paytuvchilar tartibigacha):
n = p₁^a₁ · p₂^a₂ · … · p_k^a_k
Ajratish usuli: songa eng kichik tub bo‘luvchisini ketma-ket bo‘lib boramiz.
360 = 2·180 = 2·2·90 = 2·2·2·45 = 2³·3²·5.
Tub sonlar cheksiz ko‘p (Evklid). Faraz qilaylik, ular chekli: p₁, p₂, …, p_k. N = p₁p₂…p_k + 1 sonini qaraymiz. U hech bir pᵢ ga bo‘linmaydi (qoldiq 1). Lekin N > 1 ning qandaydir tub bo‘luvchisi bor — demak ro‘yxatda yo‘q tub son mavjud. Ziddiyat.
Diqqat: N ning o‘zi tub bo‘lishi shart emas: 2·3·5·7·11·13 + 1 = 30031 = 59·509. Isbot faqat ro‘yxatda yo‘q tub bo‘luvchi borligini ko‘rsatadi.
Bo‘luvchilar soni: τ(n) = (a₁ + 1)(a₂ + 1)…(a_k + 1)
Bo‘luvchilar yig‘indisi: σ(n) = (1 + p₁ + … + p₁^a₁)(1 + p₂ + … + p₂^a₂)…
Nega? Har bir bo‘luvchi p₁^b₁·p₂^b₂… ko‘rinishida, bunda b₁ ni 0, 1, …, a₁ dan tanlash mumkin — a₁ + 1 ta variant; tanlovlar mustaqil, shuning uchun ko‘paytiriladi. Yig‘indi formulasida qavslarni ochsak, har bir bo‘luvchi aynan bir marta chiqadi.
360 ning nechta natural bo‘luvchisi bor va ulardan nechtasi toq?
Ikkala sonni tub ko‘paytuvchilarga ajratamiz:
EKUB — umumiy tub ko‘paytuvchilarning eng kichik darajalari ko‘paytmasi
EKUK — barcha uchragan tub ko‘paytuvchilarning eng katta darajalari ko‘paytmasi
EKUB(a, b) · EKUK(a, b) = a · b
Oxirgi formula har bir tub son uchun min + max = ikkala daraja yig‘indisi ekanidan kelib chiqadi.
360 va 84 ning EKUB va EKUK ini toping.
a va b o‘zaro tub, agar umumiy tub ko‘paytuvchisi bo‘lmasa (EKUB = 1). Ketma-ket ikki natural son har doim o‘zaro tub: ularning umumiy bo‘luvchisi ayirmasini, ya’ni 1 ni ham bo‘lishi kerak.
Egizak tub sonlar: farqi 2 ga teng: (3, 5), (5, 7), (11, 13), …. p, p + 2, p + 4 uchtasi ham tub bo‘lgan yagona uchlik — 3, 5, 7 (uch ketma-ket toq sonning bittasi albatta 3 ga bo‘linadi).
Tipik g‘oya: tub sonni 3 (yoki 2, 4, 6) ga bo‘lgandagi qoldiqlar bo‘yicha tekshirish.
p va p² + 2 ikkalasi ham tub. p ni toping.