Planimetriya — tekislikdagi shakllar haqidagi fan. U ta’riflanmaydigan asosiy tushunchalar (nuqta, to‘g‘ri chiziq, tekislik) va aksiomalarga tayanadi; qolgan barcha tushunchalar shulardan ta’riflanadi, barcha teoremalar shulardan isbotlanadi. Bu mavzudagi kesmalar, burchaklar va parallel to‘g‘ri chiziqlar xossalari keyingi barcha geometrik masalalarning «tili» hisoblanadi: uchburchak, to‘rtburchak, aylana masalalarida ular har qadamda ishlatiladi. Shuning uchun har bir qoidani yodlabgina qolmay, nima uchun to‘g‘ri ekanini ham tushunish muhim.
Agar masalada nuqtalarning joylashuvi aytilmagan bo‘lsa, barcha hollarni ko‘rib chiqish kerak: A, B, C bir to‘g‘ri chiziqda bo‘lsa, B nuqta A va C orasida bo‘lishi ham, chetda bo‘lishi ham mumkin.
AB = 12, C nuqta AB ni AC : CB = 1 : 3 nisbatda bo‘ladi, M — AB ning o‘rtasi. CM ni toping.
A, B, C nuqtalar bir to‘g‘ri chiziqda, AB = 7, BC = 3. AC ni toping.
Burchak — bir nuqtadan (uchidan) chiquvchi ikki nur. Burchaklar gradusda o‘lchanadi; yoyiq burchak 180°. Turlari: o‘tkir (< 90°), to‘g‘ri (90°), o‘tmas (90° dan 180° gacha), yoyiq (180°).
Qo‘shni burchaklar yig‘indisi 180°; vertikal burchaklar teng
Qo‘shni burchaklarning bir tomoni umumiy, qolgan ikki tomoni bitta to‘g‘ri chiziqni tashkil qiladi — shuning uchun ular birgalikda yoyiq burchak hosil qiladi. Vertikal burchaklar teng, chunki ikkalasi ham bitta burchakka qo‘shni: α + β = 180° va γ + β = 180° dan α = γ.
Bissektrisa burchakni teng ikkiga bo‘ladi. Qo‘shni burchaklar bissektrisalari o‘zaro perpendikulyar: α/2 + β/2 = 180°/2 = 90°.
Bir nuqtadan chiquvchi n ta nur n(n − 1)/2 ta burchak hosil qiladi (yoyiqdan kichiklari hisobga olinsa).
Ikki kesishuvchi to‘g‘ri chiziq to‘rtta burchak hosil qiladi: ikki juft vertikal burchak. Ulardan bittasini bilish qolgan uchtasini topish uchun yetarli.
Ikki to‘g‘ri chiziq kesishganda hosil bo‘lgan qo‘shni burchaklar ayirmasi 20°. Kichigini toping.
Soat 3:40 da millar orasidagi burchakni toping.
Tekislikda kesishmaydigan ikki to‘g‘ri chiziq parallel deyiladi. Parallellik aksiomasi: to‘g‘ri chiziqdan tashqaridagi nuqta orqali unga parallel faqat bitta to‘g‘ri chiziq o‘tadi.
Ikki parallel to‘g‘ri chiziqni uchinchisi (kesuvchi) kesganda 8 ta burchak hosil bo‘ladi:
Mos burchaklar teng; ichki almashinuvchi burchaklar teng; ichki bir tomonli burchaklar yig‘indisi 180°
Aksincha: shu shartlardan biri bajarilsa, to‘g‘ri chiziqlar parallel — bu parallellik alomatlari. Ikki to‘g‘ri chiziq uchinchisiga perpendikulyar bo‘lsa, ular o‘zaro parallel.
Amalda: 8 burchakdan faqat ikki xil qiymat bor — α va 180° − α. Shuni bilish istalgan burchakni bir qarashda topishga yordam beradi.
Ikki parallel to‘g‘ri chiziq va kesuvchida ichki bir tomonli burchaklar 2 : 7 nisbatda. Ularni toping.
Parallel to‘g‘ri chiziqlar xossasidan geometriyaning eng muhim faktlaridan biri kelib chiqadi. Uchburchakning bir uchi orqali qarama-qarshi tomonga parallel chiziq o‘tkazsak, ichki almashinuvchi burchaklar tengligidan uchta burchak birgalikda yoyiq burchak hosil qiladi.
Uchburchak burchaklari yig‘indisi 180°
Tashqi burchak unga qo‘shni bo‘lmagan ikki ichki burchak yig‘indisiga teng
Natijalar: uchburchakda ko‘pi bilan bitta to‘g‘ri yoki o‘tmas burchak bo‘ladi; teng tomonli uchburchakning har bir burchagi 60°.
Uchburchakning tashqi burchagi 120°, unga qo‘shni bo‘lmagan ichki burchaklar 1 : 3 nisbatda. Ularni toping.
Nuqtadan to‘g‘ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyar — eng qisqa masofa; shu nuqtadan o‘tkazilgan har qanday og‘ma undan uzun (to‘g‘ri burchakli uchburchakda gipotenuza katetdan uzun).
Nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha masofa — perpendikulyar uzunligi
Parallel to‘g‘ri chiziqlar orasidagi masofa hamma joyda bir xil
Bu ikki xossa keyinchalik uchburchakka tashqi va ichki chizilgan aylanalar markazlarini topishda ishlatiladi.
A nuqtadan a to‘g‘ri chiziqqa AH = 5 perpendikulyar va uzunligi 13 bo‘lgan AB og‘ma tushirilgan. HB ni toping va masofa nimaga tengligini ayting.