Uchburchak va uning elementlari

Uchburchak — eng oddiy ko‘pburchak, ammo planimetriya masalalarining katta qismi aynan unga keltiriladi: to‘rtburchak diagonal bilan, ko‘pburchak esa bir necha uchburchakka bo‘linadi. Uchburchak "qattiq" shakl — uch tomoni berilsa, u to‘liq aniqlanadi, shuning uchun ko‘priklar va minoralar konstruksiyasi uchburchaklardan yig‘iladi. Bu darsda burchaklar va tomonlar xossalari, uchburchak tengsizligi, mediana, bissektrisa, balandlik va o‘rta chiziq, uchburchakning ajoyib nuqtalari hamda teng yonli va teng tomonli uchburchaklar ko‘rib chiqiladi.

§1. Burchaklar xossalari

Nega `180°`? Bir uchidan qarama-qarshi tomonga parallel to‘g‘ri chiziq o‘tkazamiz. Hosil bo‘lgan ichki almashinuvchi burchaklar uchburchakning qolgan ikki burchagiga teng, uchala burchak esa birgalikda yoyiq burchakni (180°) tashkil qiladi.
Tashqi burchak xossasi shundan kelib chiqadi: tashqi burchak va unga qo‘shni ichki burchak yig‘indisi 180°, demak tashqi burchak qolgan ikki ichki burchak yig‘indisiga teng.
Burchaklariga ko‘ra uchburchaklar: o‘tkir burchakli (hammasi < 90°), to‘g‘ri burchakli (bittasi 90°), o‘tmas burchakli (bittasi > 90°). Uchburchakda ko‘pi bilan bitta to‘g‘ri yoki o‘tmas burchak bo‘ladi.

Misol

Tashqi burchak 120°, unga qo‘shni bo‘lmagan ichki burchaklar 1 : 3 nisbatda. Bu burchaklarni toping.

1. Tashqi burchak xossasi: x + 3x = 120°.
2. x = 30°.
3. Burchaklar: 30° va 90°.

§2. Tomonlar va uchburchak tengsizligi

Har bir tomon qolgan ikkitasi yig‘indisidan kichik va ayirmasidan katta. Ma’nosi: ikki nuqta orasidagi eng qisqa yo‘l — to‘g‘ri kesma, uchinchi uch orqali aylanib o‘tish har doim uzunroq. a = b + c bo‘lsa, uchala nuqta bir to‘g‘ri chiziqda yotadi (aynigan uchburchak).

• Katta tomon qarshisida katta burchak yotadi (va aksincha).
• Tomonlariga ko‘ra: turli tomonli, teng yonli, teng tomonli.

Uch kesmadan uchburchak yasash mumkinligini tekshirish uchun eng katta kesma qolgan ikkitasi yig‘indisidan kichikligini tekshirish yetarli.

Misol

Ikki tomon 3 va 8. Uchinchi tomon butun son bo‘lsa, nechta qiymat bo‘lishi mumkin?

1. 8 − 3 < c < 8 + 3 → 5 < c < 11.
2. c = 6, 7, 8, 9, 10.
3. Javob: 5 ta.

§3. Mediana

Uchdan qarama-qarshi tomon o‘rtasiga tushirilgan kesma.

Mediana uchburchakni yuzalari teng ikki uchburchakka ajratadi (asoslari teng, balandligi umumiy); uchala mediana — 6 ta teng yuzali uchburchakka. Og‘irlik markazi — fizik ma’noda muvozanat nuqtasi: karton uchburchak shu nuqtada ignaning uchida turadi.
To‘g‘ri burchakli uchburchakda gipotenuzaga tushirilgan mediana gipotenuzaning yarmiga teng.

Misol

Teng yonli ABC uchburchakda AB = BC, BD — mediana, BD = 4, ABD uchburchak perimetri 12. ABC perimetrini toping.

1. AB + AD + BD = 12 → AB + AD = 8.
2. BC = AB, AC = 2AD.
3. P(ABC) = 2AB + 2AD = 2 · 8 = 16.

§4. Bissektrisa va ichki chizilgan aylana

Bissektrisa — burchakni teng ikkiga bo‘luvchi kesma (uchdan qarama-qarshi tomongacha).

Bissektrisaning har bir nuqtasi burchak tomonlaridan teng uzoqlikda. Shuning uchun uchala bissektrisa bir nuqtada — ichki chizilgan aylana markazida kesishadi; bu nuqta uchala tomondan teng (r) uzoqlikda. Radius r = S/p (p — yarim perimetr).

Misol

AB = 6, BC = 9, AC = 10. B dan tushirilgan bissektrisa AC ni qanday bo‘laklarga bo‘ladi?

1. AD : DC = AB : BC = 6 : 9 = 2 : 3.
2. AC 5 qismga bo‘linadi, bir qism 10 : 5 = 2.
3. AD = 4, DC = 6.

§5. Balandlik, o‘rta perpendikulyar va o‘rta chiziq

• Balandlik — uchdan qarama-qarshi tomon (yoki uning davomi)ga perpendikulyar. Balandliklar (yoki davomlari) bir nuqtada — ortomarkazda kesishadi. S = ½ a·hₐ bo‘lgani uchun hₐ = 2S/a: katta tomonga kichik balandlik tushadi. O‘tmas burchakli uchburchakda ikki balandlik tashqariga — tomon davomiga tushadi.
• O‘rta perpendikulyarlar — tomon o‘rtasidan unga perpendikulyar to‘g‘ri chiziqlar. Ular tashqi chizilgan aylana markazida kesishadi (bu nuqta uchlardan teng uzoqlikda). To‘g‘ri burchakli uchburchakda bu markaz gipotenuza o‘rtasida.
• O‘rta chiziq — ikki tomon o‘rtasini tutashtiradi, uchinchi tomonga parallel va uning yarmiga teng. Uchta o‘rta chiziq perimetri asl perimetrning yarmi, yuzi esa 1/4 qismi bo‘lgan uchburchak hosil qiladi.

Misol

Tomonlari 13, 14, 15 bo‘lgan uchburchak yuzi 84. 14 ga tushirilgan balandlikni toping.

1. S = ½ · a · h, bundan h = 2S/a.
2. h = 2 · 84/14.
3. h = 12.

§6. Teng yonli va teng tomonli uchburchaklar

• Teng yonlida asosdagi burchaklar teng; asosga tushirilgan mediana bir vaqtda bissektrisa va balandlik. Teskarisi ham to‘g‘ri: ikki burchagi teng uchburchak teng yonli.
• Teng tomonlida barcha burchaklar 60°, barcha ajoyib nuqtalar ustma-ust tushadi.

Bu formulalar balandlikdan kelib chiqadi: h = √(a² − a²/4) = a√3/2; markaz medianani 2 : 1 bo‘lgani uchun R = 2h/3, r = h/3.

Misol

Teng yonli uchburchak tomonlari 5, 5, 6. Asosga tushirilgan mediana va yuzni toping.

1. Mediana — balandlik ham, u asosni 3 va 3 ga bo‘ladi.
2. m = √(25 − 9) = 4 (formula bilan ham: ½√(50 + 50 − 36) = 4).
3. S = ½ · 6 · 4 = 12.

O‘zingizni tekshiring

1. Burchaklar 2 : 3 : 4 nisbatda. Ularni toping.

2. Teng yonli uchburchak asosidagi burchak 40°. Uchidagi burchakni toping.

3. Mediana 12. Og‘irlik markazidan uchgacha masofani toping.

4. Ikki tomon 4 va 7. Uchinchi tomonning butun qiymatlari nechta?

5. Tomoni 6 bo‘lgan teng tomonli uchburchak balandligini toping.

6. Perimetri 24 bo‘lgan uchburchak o‘rta chiziqlaridan tuzilgan uchburchak perimetrini toping.

7. 2, 3, 6 kesmalardan uchburchak yasash mumkinmi?

8. Katetlari 6 va 8 bo‘lgan uchburchakda gipotenuzaga tushirilgan medianani toping.

Ko‘p uchraydigan xatolar

• Medianani bissektrisa bilan adashtirish (faqat teng yonli uchburchakda asosga tushganlari ustma-ust).
• Medianalar kesishuvida 2 : 1 nisbatni teskari olish.
• Uchburchak tengsizligida qat’iy < o‘rniga ≤ olish (aynigan uchburchak).
• Bissektrisa xossasida tomonlarni noto‘g‘ri juftlash (AD ga yopishgan tomon — AB).
• Ichki va tashqi chizilgan aylana markazlarini adashtirish (bissektrisalar ↔ o‘rta perpendikulyarlar).
• O‘tmas burchakli uchburchakda balandlik har doim ichkariga tushadi deb chizish.