Prizma, parallelepiped, piramida

Ko‘pyoqlar — tekis ko‘pburchaklar (yoqlar) bilan chegaralangan jismlar: g‘isht, quti, kristallar, piramidalar. Ko‘pyoqning elementlari — yoqlar (ko‘pburchaklar), qirralar (yoqlarning tomonlari) va uchlar. Ularda ishlashning kaliti — jism ichidan kerakli to‘g‘ri burchakli uchburchakni topish: balandlik, apofema, qirra va asos elementlari doim shunday uchburchaklar hosil qiladi. Bu darsda prizma, parallelepiped, piramida, muntazam ko‘pyoqlar, Eyler formulasi va sirt yuzlarini ko‘rib chiqamiz; hajmlar «Hajmlar» mavzusida batafsil berilgan.

§1. Prizma

Prizma — ikki teng va parallel asosga ega, yon yoqlari parallelogrammlardan iborat ko‘pyoq. Asosning har bir tomoniga bitta yon yoq mos keladi.

• To‘g‘ri prizmada yon qirralar asosga perpendikulyar, yon yoqlar — to‘g‘ri to‘rtburchaklar, yon qirra balandlikka teng.
• Muntazam prizma — asosi muntazam ko‘pburchak bo‘lgan to‘g‘ri prizma.
• Og‘ma prizmada yon qirra balandlikdan uzun.

Yon sirt formulasi yoyilmadan ko‘rinadi: to‘g‘ri prizmaning yon yoqlari yonma-yon qo‘yilsa, bo‘yi asos perimetriga, eni balandlikka teng to‘g‘ri to‘rtburchak hosil bo‘ladi.

Misol

Muntazam uchburchakli prizmaning asos tomoni 4, balandligi 5. To‘la sirtini toping.

1. Asos perimetri 12: S_yon = 12 · 5 = 60.
2. Asos yuzi: 4²√3/4 = 4√3.
3. To‘la sirt: 60 + 2 · 4√3 = 60 + 8√3.

Misol

Muntazam oltiburchakli prizmaning asos tomoni 2, balandligi 5. To‘la sirtini toping.

1. Asos perimetri 12: S_yon = 12 · 5 = 60.
2. Muntazam oltiburchak oltita teng tomonli uchburchakdan iborat: S_asos = 6 · 2²√3/4 = 6√3.
3. S = 60 + 2 · 6√3 = 60 + 12√3.

§2. Parallelepiped va kub

Parallelepiped — asosi parallelogramm bo‘lgan prizma; uning oltita yog‘i ham parallelogramm, qarama-qarshi yoqlari teng va parallel. To‘g‘ri burchakli parallelepipedning barcha yoqlari to‘g‘ri to‘rtburchaklar; uning o‘lchamlari a, b, c:

Diagonal formulasi Pifagor teoremasini ikki marta qo‘llashdan chiqadi: asos diagonali √(a² + b²), keyin u va c dan fazoviy diagonal. Parallelepipedning barcha to‘rt diagonali bir nuqtada kesishadi va u nuqtada teng ikkiga bo‘linadi.

Misol

O‘lchamlari 2 × 3 × 6 bo‘lgan parallelepipedning diagonali va to‘la sirtini toping.

1. d = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7.
2. S = 2(2·3 + 3·6 + 2·6) = 2(6 + 18 + 12) = 72.

§3. Piramida

Piramida — asosi ko‘pburchak, yon yoqlari umumiy uchga ega uchburchaklar bo‘lgan ko‘pyoq. Muntazam piramidada asos muntazam ko‘pburchak, balandlik asosi — asos markazi; shuning uchun barcha yon qirralar teng va barcha yon yoqlar teng yonli teng uchburchaklar.

• Apofema l — muntazam piramida yon yog‘ining uchdan tushirilgan balandligi.
• Balandlik h, apofema l, asosga ichki chizilgan aylana radiusi r: l² = h² + r².
• Balandlik h, yon qirra b, asosga tashqi chizilgan aylana radiusi R: b² = h² + R².

Nega aynan r va R? Apofemaning asosi — asos tomonining o‘rtasi, u markazdan r masofada; yon qirraning asosi — asos uchi, u markazdan R masofada.

Misol

Muntazam to‘rtburchakli piramidaning asos tomoni 6, balandligi 4. To‘la sirtini toping.

1. Kvadratga ichki chizilgan aylana radiusi r = 3.
2. Apofema: l = √(16 + 9) = 5.
3. S_yon = ½ · 24 · 5 = 60.
4. S = 60 + 36 = 96.

Misol

Muntazam to‘rtburchakli piramidaning asos tomoni 12, yon qirrasi 10. Balandlik va apofemani toping.

1. Kvadrat diagonali yarmi: R = 12√2/2 = 6√2.
2. h = √(100 − 72) = √28 = 2√7.
3. Apofema yon yoqdan: l = √(10² − 6²) = 8.

§4. Muntazam ko‘pyoqlar

Muntazam ko‘pyoq — barcha yoqlari teng muntazam ko‘pburchaklar va har bir uchida bir xil sondagi qirralar tutashgan qavariq ko‘pyoq. Ular faqat beshta:

• tetraedr — 4 ta uchburchak yoq (4 uch, 6 qirra);
• kub (geksaedr) — 6 ta kvadrat (8 uch, 12 qirra);
• oktaedr — 8 ta uchburchak (6 uch, 12 qirra);
• dodekaedr — 12 ta beshburchak (20 uch, 30 qirra);
• ikosaedr — 20 ta uchburchak (12 uch, 30 qirra).

Nega faqat beshta? Qavariq ko‘pyoqning har bir uchida yassi burchaklar yig‘indisi 360° dan kichik bo‘lishi kerak. Uchburchak yoqlar (60°) uchida 3, 4 yoki 5 tasi tutashishi mumkin (180°, 240°, 300°), kvadratlar (90°) — faqat 3 tasi, beshburchaklar (108°) — faqat 3 tasi. Oltiburchakda 3 · 120° = 360° — bu endi tekislik. Jami 3 + 1 + 1 = 5 imkoniyat.
Muntazam tetraedr (qirrasi a) balandligi h = a√(2/3): asos markazidan uchgacha masofa R = a/√3, h² = a² − a²/3 = 2a²/3.

§5. Eyler formulasi va kesimlar

Kub uchun: 8 − 12 + 6 = 2; oktaedr uchun: 6 − 12 + 8 = 2. Formula noma’lum elementlar sonini topishga yordam beradi.
Kesim yasash qoidalari: tekislik parallel yoqlarni parallel kesmalar bo‘yicha kesadi; kesim ko‘pburchagining tomonlari yoqlarda yotadi.

Misol

Qirrasi 2 bo‘lgan kub ABCDA₁B₁C₁D₁ ni A, C, C₁ nuqtalardan o‘tuvchi tekislik bilan kesamiz. Kesim yuzini toping.

1. Tekislik AC diagonal va CC₁ ∥ AA₁ qirradan o‘tadi, demak A₁ ham unda yotadi — kesim ACC₁A₁.
2. AA₁ ⊥ AC, shuning uchun kesim to‘g‘ri to‘rtburchak: tomonlari AC = 2√2 va AA₁ = 2.
3. Yuzi: 2√2 · 2 = 4√2.

O‘zingizni tekshiring

1. Qirrasi 3 bo‘lgan kubning to‘la sirti.

2. Qirrasi 2 bo‘lgan kubning diagonali.

3. Oltiburchakli prizmada nechta qirra bor?

4. Oltiburchakli piramidada nechta qirra bor?

5. Muntazam to‘rtburchakli piramidaning asos tomoni 8, apofemasi 5. Balandlik?

6. 3 × 4 × 12 parallelepiped diagonali.

7. Ko‘pyoqda 12 ta uch va 30 ta qirra bor. Nechta yog‘i bor?

8. Qirrasi 6 bo‘lgan muntazam tetraedr balandligi.

Ko‘p uchraydigan xatolar

• Apofemani yon qirra bilan adashtirish.
• Apofema uchburchagida R, yon qirra uchburchagida r ni ishlatish — aksincha bo‘lishi kerak.
• Yon sirtga asoslarni qo‘shib yuborish yoki to‘la sirtda ularni unutish.
• Parallelepiped diagonali uchun ikki o‘lcham bilan cheklanish.
• Prizma va piramidaning uch, qirra, yoq sonlarini adashtirish.
• Og‘ma prizmada yon qirrani balandlik deb olish.