Fazoda to‘g‘ri chiziq va tekisliklar

Stereometriya fazodagi shakllarni o‘rganadi: nuqtalar, to‘g‘ri chiziqlar va tekisliklarning o‘zaro joylashuvini, ular orasidagi masofa va burchaklarni. Asosiy qiyinchilik — chizmani «ko‘rish»: qog‘ozdagi rasm fazoni buzib ko‘rsatadi, to‘g‘ri burchaklar o‘tkir yoki o‘tmas bo‘lib chiziladi. Ammo fazoviy masalani deyarli har doim bir yoki bir necha tekis to‘g‘ri burchakli uchburchakka keltirish mumkin. Bu mavzu ana shu keltirish qoidalarini beradi va ko‘pyoqlar, aylanish jismlari hamda koordinatalar usuli uchun poydevor bo‘ladi.

§1. Aksiomalar va tekislikni aniqlash

Stereometriyaning asosiy tushunchalari — nuqta, to‘g‘ri chiziq, tekislik — ta’riflanmaydi, ularning xossalari aksiomalar bilan beriladi:

• Bir to‘g‘ri chiziqda yotmagan uch nuqta orqali bitta va faqat bitta tekislik o‘tadi.
• To‘g‘ri chiziqning ikki nuqtasi tekislikda yotsa, butun to‘g‘ri chiziq shu tekislikda yotadi.
• Ikki tekislik umumiy nuqtaga ega bo‘lsa, ular shu nuqta orqali o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq bo‘yicha kesishadi.

Aksiomalardan tekislikni aniqlashning yana uch usuli kelib chiqadi: to‘g‘ri chiziq va undan tashqaridagi nuqta orqali, ikki kesishuvchi to‘g‘ri chiziq orqali, ikki parallel to‘g‘ri chiziq orqali bitta tekislik o‘tadi. Shuning uchun uch oyoqli stol hech qachon chayqalmaydi, to‘rt oyoqli esa chayqalishi mumkin.

§2. O‘zaro joylashuv

Ayqash to‘g‘ri chiziqlar — bir tekislikda yotmaydigan, shuning uchun kesishmaydigan va parallel ham bo‘lmagan chiziqlar. Bu holat faqat fazoda mavjud. Ayqash chiziqlar orasidagi burchak — ulardan biriga parallel qilib ikkinchisini kesuvchi chiziq o‘tkazilganda hosil bo‘ladigan burchak. Ular orasidagi masofa — umumiy perpendikulyar uzunligi.

Misol

Kub ABCDA₁B₁C₁D₁ da AB va CC₁ qirralari qanday joylashgan? Ular orasidagi burchak va masofani toping (qirra a).

1. AB asos tekisligida yotadi, CC₁ uni C nuqtada kesadi, C esa AB da yotmaydi — chiziqlar ayqash.
2. CC₁ ∥ BB₁, BB₁ ⊥ AB, demak burchak 90°.
3. BC ikkalasiga ham perpendikulyar va ikkalasini kesadi — umumiy perpendikulyar.
4. Masofa: BC = a.

§3. Parallellik

Muhim xossalar:

• Ikki parallel tekislikni uchinchi tekislik parallel to‘g‘ri chiziqlar bo‘yicha kesadi — kesimlar yasashda shu xossa ishlatiladi.
• Parallel tekisliklar orasidagi parallel kesmalar teng.
• Uchinchi to‘g‘ri chiziqqa parallel ikki to‘g‘ri chiziq o‘zaro parallel (fazoda ham).

Nega ikki kesishuvchi chiziq kerak? Bitta chiziq parallel bo‘lishi tekisliklar parallelligiga yetmaydi: kesishuvchi tekisliklarda ham kesishish chizig‘iga parallel chiziqlar bor.

§4. Perpendikulyarlik

• Bir tekislikka perpendikulyar ikki to‘g‘ri chiziq o‘zaro parallel.
• Tekislik boshqa tekislikka perpendikulyar to‘g‘ri chiziq orqali o‘tsa, tekisliklar perpendikulyar.

Uch perpendikulyar teoremasi nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha masofani topishda asosiy vosita: perpendikulyarni chizmada qidirmasdan, proyeksiya orqali topamiz.

Misol

ABCD — tomoni 4 bo‘lgan kvadrat, MA uning tekisligiga perpendikulyar, MA = 3. M dan CD to‘g‘ri chiziqqacha masofani toping.

1. MD — og‘ma, AD — uning proyeksiyasi.
2. AD ⊥ CD (kvadrat), uch perpendikulyar teoremasiga ko‘ra MD ⊥ CD.
3. Demak, izlanayotgan masofa MD.
4. MD = √(3² + 4²) = 5.

§5. Masofa va burchaklar

• Nuqtadan tekislikkacha masofa — perpendikulyar uzunligi. Og‘ma l, perpendikulyar h, proyeksiya p: l² = h² + p².
• To‘g‘ri chiziq va tekislik orasidagi burchak — to‘g‘ri chiziq va uning proyeksiyasi orasidagi burchak: sin φ = h/l, cos φ = p/l.
• Ikki yoqli burchak — qirraga bir nuqtada ikkala yoqda perpendikulyar o‘tkazilgan chiziqlar orasidagi chiziqli burchak bilan o‘lchanadi.

Misol

Og‘ma 10, nuqtadan tekislikkacha masofa 6. Proyeksiya va burchakni toping.

1. p = √(100 − 36) = 8.
2. sin φ = h/l = 6/10 = 0,6.

Misol (rasmiy namuna)

AB kesma tekislikni kesmaydi; AA₁ = 2, BB₁ = 7 — uchlardan tekislikkacha masofalar. AB ni A dan boshlab 3 : 2 nisbatda bo‘luvchi nuqtadan tekislikkacha masofa?

1. Perpendikulyarlar parallel, AA₁B₁B — trapetsiya.
2. Bo‘luvchi nuqtadan tushirilgan perpendikulyar ham ularga parallel, masofa chiziqli o‘zgaradi.
3. 2 + (7 − 2)·3/5 = 2 + 3 = 5.

Misol

Tomoni 6 bo‘lgan ABCD kvadrat tekisligiga MA perpendikulyar, MA = 6. MCD va ABC tekisliklari orasidagi burchakni toping.

1. Qirra — CD. AD ⊥ CD, uch perpendikulyar teoremasiga ko‘ra MD ⊥ CD.
2. Chiziqli burchak — ∠MDA.
3. tg ∠MDA = MA/AD = 6/6 = 1.
4. Javob: 45°.

§6. Kub va to‘g‘ri burchakli parallelepipeddagi masofalar

Kub — stereometriyaning eng qulay «laboratoriyasi»: undagi barcha qirralar o‘zaro yoki parallel, yoki perpendikulyar, yoki ayqash, shuning uchun har bir teoremani unda tekshirib ko‘rish mumkin.

Diagonal formulasi Pifagor teoremasini ikki marta qo‘llashdan chiqadi: avval asos diagonali √(a² + b²), keyin u va balandlik c katetlar bo‘lgan uchburchakdan.
Kub diagonali va asos tekisligi orasidagi burchak: diagonalning asosdagi proyeksiyasi — asos diagonali a√2, balandlik a, shuning uchun tg φ = a/(a√2) = 1/√2 (φ ≈ 35,3°).

Misol

Qirrasi 2 bo‘lgan kubda B₁ uchdan AC diagonalgacha masofani toping.

1. BB₁ ⊥ asos, B₁ ning proyeksiyasi — B.
2. B dan AC ga perpendikulyar — kvadrat diagonallari kesishgan nuqta O gacha: BO = a√2/2 = √2.
3. Uch perpendikulyar teoremasiga ko‘ra B₁O ⊥ AC.
4. B₁O = √(BB₁² + BO²) = √(4 + 2) = √6.

O‘zingizni tekshiring

1. Bir to‘g‘ri chiziqda yotmagan uch nuqta orqali nechta tekislik o‘tadi?

2. Nuqta tekislikdan 12 uzoqda, og‘ma 13. Proyeksiyani toping.

3. Uzunligi 10 kesma uchlari tekislikdan (bir tomonda) 3 va 9 uzoqda. O‘rtasigacha masofa?

4. Og‘ma 2√2, proyeksiyasi 2. Tekislik bilan burchak?

5. Bir tekislikka perpendikulyar ikki to‘g‘ri chiziq qanday joylashgan?

6. Kub qirrasi 4. AB va CC₁ orasidagi masofa?

7. Kesma uchlari tekislikning turli tomonida, masofalar 3 va 9. Kesma o‘rtasidan tekislikkacha masofa?

8. Bir tekislikda yotmaydigan va kesishmaydigan to‘g‘ri chiziqlar qanday ataladi?

Ko‘p uchraydigan xatolar

• Ayqash to‘g‘ri chiziqlarni parallel yoki kesishuvchi deb hisoblash.
• Tekislikka perpendikulyarlik uchun bitta to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyarlik yetarli deb o‘ylash — ikki kesishuvchi chiziq kerak.
• To‘g‘ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni perpendikulyar bilan o‘lchash — u proyeksiya bilan o‘lchanadi.
• Kesma uchlari tekislikning turli tomonida bo‘lganda masofalarni ayirish o‘rniga qo‘shish.
• Ikki yoqli burchak o‘rniga qirraga perpendikulyar bo‘lmagan chiziqlar orasidagi burchakni olish.
• Chizmadagi burchakka ishonish — fazoviy chizmada to‘g‘ri burchak to‘g‘ri bo‘lib ko‘rinmaydi.