Avval o‘rganing: Qisqa ko‘paytirish formulalari
Ko‘paytuvchilarga ajratish — ko‘paytirishning teskarisi: ko‘phadni bir nechta sodda ifodalarning ko‘paytmasi ko‘rinishida yozish. Bu ko‘nikma kasrlarni qisqartirish, tenglamalarni «ko‘paytma nolga teng» usulida yechish, tengsizliklarda oraliqlar usulini qo‘llash va og‘zaki hisobni tezlashtirish uchun zarur. Ko‘paytma ko‘rinishida ifodaning nollari, ishorasi va tuzilishi birdan ko‘rinadi — shuning uchun algebrada bu eng ko‘p ishlatiladigan almashtirishlardan biri. Bu darsda asosiy usullarni qo‘llash tartibi bilan ko‘rib chiqamiz.
Har doim birinchi qadam. Umumiy ko‘paytuvchi chiqarilgach, qavs ichidagi ifoda soddalashadi va keyingi usullar (guruhlash, formulalar) osonroq ko‘rinadi. Bu taqsimot qonunining teskari qo‘llanishi: ab + ac = a(b + c). Koeffitsiyentlarning EKUBi va har bir o‘zgaruvchining eng kichik darajasi olinadi:
6x²y − 9xy² = 3xy(2x − 3y).
Tekshirish oson: qavsni qayta ochsak, dastlabki ifoda chiqishi kerak.
Umumiy ko‘paytuvchi ifoda ham bo‘lishi mumkin: x(a − b) + y(a − b) = (a − b)(x + y).
(b − a) = −(a − b) — ishorani almashtirib umumiy qavs hosil qilinadi
Masalan, a(x − 1) − b(1 − x) = a(x − 1) + b(x − 1) = (x − 1)(a + b).
Hadlarni guruhlab, har guruhdan umumiy ko‘paytuvchi chiqariladi, so‘ng barcha guruhlarda bir xil qavs paydo bo‘ladi:
ax + ay − bx − by = a(x + y) − b(x + y) = (a − b)(x + y).
Agar birinchi urinishda umumiy qavs chiqmasa, hadlarni boshqacha guruhlab ko‘ring — masalan, x li va x siz hadlarni yoki koeffitsiyentlari proporsional hadlarni birlashtirib. To‘rt hadli ifodada odatda «2 + 2» yoki «3 + 1» guruhlash ishlaydi.
x³ − x² − 4x + 4 ni ko‘paytuvchilarga ajrating.
a² − b² = (a − b)(a + b); a² ± 2ab + b² = (a ± b)²
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²); a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
Misollar: x² − 9 = (x − 3)(x + 3); 4x² − 12x + 9 = (2x − 3)²; x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4).
Formulani tanish uchun hadlarni «kvadrat» yoki «kub» sifatida ko‘rish kerak: 4x² = (2x)², 27 = 3³. To‘la kvadratda o‘rta had aynan 2ab bo‘lishi shart.
Ba’zan hadni qo‘shib-ayirib to‘la kvadrat yasaladi:
x⁴ + 4 = (x² + 2)² − 4x² = (x² − 2x + 2)(x² + 2x + 2)
Formulalar og‘zaki hisobda ham yordam beradi: 101² − 99² = (101 − 99)(101 + 99) = 2·200 = 400.
a² − b² − 2b − 1 ni ajrating.
ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂), bunda x₁, x₂ — ax² + bx + c = 0 ning ildizlari
D = 0 bo‘lsa, ax² + bx + c = a(x − x₀)²; D < 0 bo‘lsa, uchhad haqiqiy ko‘paytuvchilarga ajralmaydi.
Viyet orqali tez topish (a = 1): yig‘indisi −b, ko‘paytmasi c bo‘lgan sonlar: x² − 7x + 12 → 3 va 4 → (x − 3)(x − 4).
2x² + 5x − 3 ni ajrating.
Butun koeffitsiyentli ko‘phadning butun ildizlari ozod hadning bo‘luvchilari orasida. Agar x₀ ildiz bo‘lsa, ko‘phad x − x₀ ga qoldiqsiz bo‘linadi (Bezu teoremasi).
P(x₀) = 0 ⇔ P(x) = (x − x₀)·Q(x)
Masalan, x³ − 6x² + 11x − 6 uchun x = 1 ildiz (1 − 6 + 11 − 6 = 0), bo‘lish natijasida (x − 1)(x² − 5x + 6) = (x − 1)(x − 2)(x − 3).
A·B = 0 ⇔ A = 0 yoki B = 0 (ikkalasi ham ma’noga ega bo‘lganda)
x³ − 4x = 0 ni yeching.
Hech qachon ikki tomonni x ga bo‘lmang — x = 0 ildizi yo‘qoladi.
Kasrni qisqartirishda surat va maxraj ajratiladi, umumiy ko‘paytuvchi qisqartiriladi, lekin u nolga teng bo‘ladigan qiymatlar aniqlanish sohasidan chiqarib qo‘yiladi.
(x² − 5x + 6)/(x² − 4) kasrni qisqartiring.