Ratsional ifoda — ko‘phadlarning bo‘linmasi, ya’ni algebraik kasr: (x + 1)/(x² − 4), 3/a + a/b kabi. Ular bilan ishlash oddiy kasrlarga o‘xshaydi: qisqartirish, umumiy maxrajga keltirish, ko‘paytirish va bo‘lish xuddi sonli kasrlardagidek bajariladi. Lekin ikkita qo‘shimcha talab bor: aniqlanish sohasi (maxraj nol bo‘lmasligi) va ko‘paytuvchilarga ajratish (qisqartirish faqat ko‘paytuvchilar bilan ishlaydi). Bu mavzu tenglamalar, tengsizliklar, funksiyalar va keyinchalik limit hamda integrallarda ham doimo kerak bo‘ladi.
§1. Ratsional ifoda va aniqlanish sohasi
Butun ifoda (ko‘phad) har qanday x da ma’noga ega. Kasr ko‘rinishidagi ifoda esa faqat maxraj nolga teng bo‘lmagan qiymatlarda ma’noga ega, chunki nolga bo‘lish aniqlanmagan.
Ratsional ifodaning aniqlanish sohasi: maxrajdagi barcha ko‘paytuvchilar ≠ 0
Topish tartibi: maxrajni nolga tenglab, ildizlarni topamiz va ularni chiqarib tashlaymiz.
(x + 1)/(x² − 4) uchun x² − 4 ≠ 0 → x ≠ ±2.
5/(x² + 1) uchun cheklov yo‘q: x² + 1 > 0 har doim.
1/x + 2/(x − 3) uchun x ≠ 0 va x ≠ 3.
Muhim: qisqartirishdan keyin ham bu cheklovlar saqlanadi. (x² − 1)/(x² + x) = (x − 1)/x, lekin dastlabki ifoda x = −1 da ham aniqlanmagan, shuning uchun javob: (x − 1)/x, x ≠ 0vax ≠ −1. Ikki ifoda faqat umumiy aniqlanish sohasida teng.
§2. Kasrning asosiy xossasi va qisqartirish
Surat va maxrajni nolga teng bo‘lmagan bir xil ifodaga ko‘paytirish yoki bo‘lish mumkin: A/B = (A·C)/(B·C), C ≠ 0
Qisqartirish shu xossaning teskari qo‘llanishidir. Tartib:
Surat va maxrajni ko‘paytuvchilarga ajratamiz (umumiy ko‘paytuvchini qavsdan chiqarish, qisqa ko‘paytirish formulalari, kvadrat uchhadni ajratish).
Umumiy ko‘paytuvchini topib, unga bo‘lamiz.
Faqat ko‘paytuvchilar qisqaradi, qo‘shiluvchilar emas: (x + 3)/3 ≠ x
Nega? (x + 3)/3 = x/3 + 1 — surat butunligicha 3 ga bo‘linadi, uning bir qismi emas. Foydali kuzatish: (b − a) = −(a − b), shuning uchun (a − b)/(b − a) = −1. Kvadrat uchhad ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) formulasi bo‘yicha ajratiladi, bu yerda x₁, x₂ — uning ildizlari.
Misol
(a² − 9)/(a² − 6a + 9) ni qisqartiring.
Surat: a² − 9 = (a − 3)(a + 3).
Maxraj: a² − 6a + 9 = (a − 3)².
(a − 3) ga qisqartiramiz: (a + 3)/(a − 3), bunda a ≠ 3.
§3. Qo‘shish va ayirish
Bir xil maxrajli kasrlar suratlari qo‘shiladi. Har xil maxrajli kasrlar avval eng kichik umumiy maxrajga (EKUM) keltiriladi:
Har bir maxrajni ko‘paytuvchilarga ajratamiz.
Umumiy maxraj — barcha uchragan ko‘paytuvchilarning eng katta darajalari ko‘paytmasi.
Har bir kasr uchun qo‘shimcha ko‘paytuvchini topib, suratni unga ko‘paytiramiz.
Suratlarni qo‘shamiz va natijani iloji bo‘lsa qisqartiramiz.
Ayirishda ikkinchi kasr suratini qavsga olish shart — aks holda belgi xatosi chiqadi.
Misol
1/(x − 1) − 1/(x + 1) ni soddalashtiring.
Umumiy maxraj: (x − 1)(x + 1) = x² − 1.
Qo‘shimcha ko‘paytuvchilar: birinchisiga x + 1, ikkinchisiga x − 1.
((x + 1) − (x − 1))/(x² − 1) = 2/(x² − 1).
Misol
x/(x − 2) − 8/(x² − 4) ni soddalashtiring.
x² − 4 = (x − 2)(x + 2) — bu umumiy maxraj.
Birinchi kasrga qo‘shimcha ko‘paytuvchi x + 2: (x(x + 2) − 8)/((x − 2)(x + 2)).
Surat: x² + 2x − 8 = (x + 4)(x − 2).
(x − 2) ga qisqartiramiz: (x + 4)/(x + 2), bunda x ≠ ±2.
§4. Ko‘paytirish, bo‘lish va murakkab kasrlar
A/B · C/D = (A·C)/(B·D); A/B : C/D = A/B · D/C
Ko‘paytirishdan oldin qisqartirish qulay: avval hamma narsani ko‘paytuvchilarga ajrating, keyin "kesib tashlang". Bo‘lishda ikkinchi kasr ag‘dariladi (teskarisiga almashtiriladi). Ko‘p qavatli (murakkab) kasrni soddalashtirishda avval surat va maxrajni alohida bitta kasrga keltiramiz, keyin bo‘lamiz. Masalan, (1 + 1/x)/(1 − 1/x²) = ((x + 1)/x) · (x²/((x − 1)(x + 1))) = x/(x − 1).
Ba’zan ifoda qiymatini x va y ni topmasdan hisoblash kerak. G‘oya — ifodani berilgan shart ishtirok etadigan ko‘rinishga keltirish:
x − y = 5 bo‘lsa: 6x + 5 − 6y = 6(x − y) + 5 = 35.
a/b = 3 bo‘lsa: a = 3b, (2a + b)/(a − b) = 7b/(2b) = 7/2.
Bir jinsli kasrda (surat va maxrajdagi barcha hadlar bir xil darajali) surat va maxrajni b ga bo‘lib, hammasini a/b orqali yozish mumkin.
§6. Ratsional tenglamalar va almashtirish
Ratsional tenglamani yechish tartibi:
Aniqlanish sohasini yozamiz (maxrajlar ≠ 0).
Ikkala tomonni umumiy maxrajga ko‘paytirib, ko‘phadli tenglamaga keltiramiz.
Hosil bo‘lgan tenglamani yechamiz.
Ildizlarni aniqlanish sohasi bilan solishtirib, begona ildizlarni tashlaymiz.
Umumiy maxrajga ko‘paytirish begona ildiz paydo qilishi mumkin — tekshiruv majburiy
Begona ildiz nega paydo bo‘ladi? Nolga teng bo‘lishi mumkin bo‘lgan ifodaga ko‘paytirganimiz uchun: x = 2 da x² − 4 = 0, ko‘paytirilgan tenglama bajarilaveradi, asl tenglama esa ma’noga ega emas. Simmetrik ifodalarda yangi o‘zgaruvchi kiritish ishni yengillashtiradi.
Misol
x/(x + 2) + 4/(x² − 4) = 1/(x − 2) ni yeching.
Aniqlanish sohasi: x ≠ ±2.
x² − 4 ga ko‘paytiramiz: x(x − 2) + 4 = x + 2.
x² − 3x + 2 = 0 → x = 1 yoki x = 2.
x = 2 aniqlanish sohasiga kirmaydi. Javob: x = 1.
Misol
x²/3 + 48/x² = 10(x/3 − 4/x) ning haqiqiy ildizlari yig‘indisini toping.