Avval o‘rganing: Ko‘phadlar ustida amallar
Chiziqli tenglama — eng sodda tenglama, lekin matnli masalalarning aksariyati aynan shunga keltiriladi: harakat, ish, yosh, aralashma, narx masalalari oxir-oqibat ax = b ko‘rinishiga keladi. Murakkabroq tenglamalar (kasr-ratsional, modulli, parametrli) ham ko‘pincha bir necha chiziqli tenglamaga ajraladi. Shuning uchun yechish tartibini avtomatik darajada bilish va har bir qadamni nima uchun qilayotganimizni tushunish muhim. Bu darsda ta’rif, yechish bosqichlari, kasrli koeffitsiyentlar, parametr, chiziqli tenglamaga keltiriladigan tenglamalar va matnli masalalarni ko‘ramiz.
ax = b ko‘rinishidagi tenglama chiziqli deyiladi (x — noma’lum, a va b — sonlar). «Chiziqli» nomi y = ax − b funksiya grafigi to‘g‘ri chiziq ekanidan kelib chiqqan: tenglamani yechish shu chiziqning Ox o‘qi bilan kesishish nuqtasini topish demakdir.
Tenglamaning ildizi — tenglamani to‘g‘ri tenglikka aylantiradigan son. Tenglamani yechish — barcha ildizlarni topish yoki ularning yo‘qligini isbotlash.
a ≠ 0: yagona ildiz x = b/a
a = 0, b = 0: cheksiz ko‘p ildiz (0·x = 0)
a = 0, b ≠ 0: ildiz yo‘q (0·x = 5)
Grafik tilida: a ≠ 0 — chiziq Ox ni bitta nuqtada kesadi; a = 0 — chiziq Ox ga parallel yoki u bilan ustma-ust tushadi.
Ikki tenglama teng kuchli, agar ularning ildizlari bir xil bo‘lsa. Yechish — tenglamani teng kuchli almashtirishlar orqali x = son ko‘rinishiga keltirish. Ruxsat etilgan almashtirishlar:
Yechish tartibi:
Nega nolga ko‘paytirish mumkin emas? x = 2 ni 0 ga ko‘paytirsak 0 = 0 chiqadi — bu har qanday x da to‘g‘ri, ya’ni yangi «ildizlar» paydo bo‘ladi.
3(x − 2) = 2x + 5 ni yeching.
Tenglamada kasrlar bo‘lsa, ikki tomonini maxrajlarning EKUKiga ko‘paytiramiz — kasrlar yo‘qoladi va hisob butun sonlarda davom etadi.
(x − 1)/3 − (x + 2)/4 = 1 ni yeching.
Diqqat: kasr oldidagi minus butun suratga tegishli — −3(x + 2) = −3x − 6, −3x + 6 emas.
Koeffitsiyentda harf (parametr) bo‘lsa, §1 dagi uch holatni tekshiramiz: avval tenglamani A(a)·x = B(a) ko‘rinishiga keltiramiz, keyin A(a) = 0 bo‘ladigan qiymatlarni alohida ko‘ramiz.
(a − 2)x = a² − 4 qachon cheksiz ko‘p yechimga ega?
Noma’lum maxrajda bo‘lsa, tenglama kasr-ratsional bo‘ladi. Yechish: avval maxraj nolga teng bo‘lmasligi shartini yozamiz, keyin umumiy maxrajga ko‘paytirib, chiziqli tenglamaga keltiramiz va ildizni shartga tekshiramiz.
Maxraj ≠ 0 sharti yechishdan oldin yoziladi va oxirida tekshiriladi
(x² − 9)/(x − 3) = 6 ni yeching.
Algoritm: noma’lumni belgilash → shartlarni tenglama shaklida yozish → yechish → ma’nosini tekshirish (yosh manfiy bo‘lmaydi, odamlar soni butun).
Harakat: S = v·t; qarama-qarshi harakatda tezliklar qo‘shiladi, bir tomonga — ayiriladi
Ish: A = P·t; birgalikda ishlaganda unumdorliklar qo‘shiladi (butun ish = 1)
Oqim: oqim bo‘yicha v + u, oqimga qarshi v − u
Aralashma: modda massasi = eritma massasi × ulush; aralashtirganda modda massalari qo‘shiladi
Ota 40, o‘g‘li 10 yoshda. Necha yildan keyin ota o‘g‘lidan 2 marta katta bo‘ladi?
Birinchi quvur hovuzni 6 soatda, ikkinchisi 3 soatda to‘ldiradi. Birgalikda necha soatda to‘ldiradi?
10% li 200 g eritmaga 30% li eritmadan necha gramm qo‘shilsa, 25% li eritma hosil bo‘ladi?