Avval o‘rganing: Darajalar va ularning xossalari
Ko‘phadlar algebraning «xom ashyosi»: tenglamalar, funksiyalar va ifodalar ular bilan quriladi. Kvadrat uchhad, kub tenglama, hosilani hisoblash — hammasida ko‘phad bilan ishlash kerak bo‘ladi. Bu darsda birhad va ko‘phad tushunchalaridan boshlab, amallar, ko‘phadni ko‘phadga bo‘lish, Bezu teoremasi, Gorner sxemasi va ildizlarni topishni ko‘ramiz — bular yuqori darajali tenglamalar uchun kalit hisoblanadi.
Birhad — son va o‘zgaruvchilar darajalarining ko‘paytmasi: −3x²y, 5a, 7. Undagi son koeffitsiyent deyiladi (−3). Birhad darajasi — o‘zgaruvchilar ko‘rsatkichlari yig‘indisi: −3x²y ning darajasi 2 + 1 = 3.
O‘xshash birhadlar — faqat koeffitsiyenti bilan farq qiladigan birhadlar: 4x²y va −x²y. Ularni qo‘shganda koeffitsiyentlar qo‘shiladi: 4x²y − x²y = 3x²y.
Ko‘phad — birhadlar yig‘indisi. Standart shakl: o‘xshash hadlar ixchamlangan va darajalar kamayish tartibida yozilgan: P(x) = 2x³ − x + 5.
Ko‘phadga son qo‘yish juda foydali natijalar beradi:
Koeffitsiyentlar yig‘indisi P(1) ga teng
P(−1) — juft darajali hadlar koeffitsiyentlari yig‘indisidan toq darajalilarnikini ayirganiga teng
Masalan, (x² − 3x + 1)⁵ ni qavslarni ochmasdan, koeffitsiyentlar yig‘indisini topamiz: P(1) = (1 − 3 + 1)⁵ = −1.
Qo‘shish va ayirish: qavslarni ochib, o‘xshash hadlarni ixchamlaymiz. Qavs oldida minus bo‘lsa, qavs ichidagi barcha hadlarning ishorasi o‘zgaradi:
(x² − x + 3) − (2x² − 4x − 1) = x² − x + 3 − 2x² + 4x + 1 = −x² + 3x + 4.
Ko‘paytirish: birinchi ko‘phadning har bir hadi ikkinchisining har bir hadiga ko‘paytiriladi, so‘ng o‘xshash hadlar ixchamlanadi:
(2x − 3)(x + 4) = 2x² + 8x − 3x − 12 = 2x² + 5x − 12.
Darajalar ko‘paytirilganda bosh hadlar ko‘paytiriladi, shuning uchun:
deg(P·Q) = deg P + deg Q
deg(P + Q) ≤ max(deg P, deg Q) (bosh hadlar qisqarib ketishi mumkin)
Tez ko‘paytirish uchun qisqa ko‘paytirish formulalari ishlatiladi:
(a ± b)² = a² ± 2ab + b², a² − b² = (a − b)(a + b)
(a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³, a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²)
Masalan, (x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8.
(x² + 1)³(x − 2)² ko‘phadning darajasi, bosh koeffitsiyenti va ozod hadini toping.
Ko‘phadlarni ham sonlar kabi qoldiqli bo‘lish mumkin. Har qanday P(x) va nolmas Q(x) uchun yagona bo‘linma S(x) va qoldiq R(x) mavjud:
P(x) = Q(x)·S(x) + R(x), deg R < deg Q
Bo‘lish «burchak» usulida bajariladi: bo‘linuvchining bosh hadini bo‘luvchining bosh hadiga bo‘lamiz, natijani bo‘luvchiga ko‘paytirib ayiramiz va jarayonni qoldiq darajasi bo‘luvchi darajasidan kichik bo‘lguncha takrorlaymiz. Agar R(x) = 0 bo‘lsa, P son Q ga qoldiqsiz bo‘linadi.
x³ − 2x² + 4 ni x − 2 ga bo‘ling.
x − a ga bo‘lishda qoldiq son bo‘ladi (darajasi 0). P(x) = (x − a)S(x) + R tenglikka x = a qo‘ysak, birinchi qo‘shiluvchi nolga aylanadi va P(a) = R qoladi. Bu Bezu teoremasi:
P(x) ni x − a ga bo‘lgandagi qoldiq P(a) ga teng
Natija: P(a) = 0 ⇔ P(x) son (x − a) ga qoldiqsiz bo‘linadi, ya’ni a — ildiz
x³ + ax − 6 ko‘phad x − 2 ga qoldiqsiz bo‘linadi. a ni toping.
Gorner sxemasi — x − a ga tez bo‘lish usuli. Koeffitsiyentlar ketma-ket yoziladi (yo‘q darajalar uchun 0). Birinchi koeffitsiyent pastga tushiriladi; keyin har safar oxirgi natija a ga ko‘paytirilib, navbatdagi koeffitsiyentga qo‘shiladi. Oxirgi son — qoldiq, oldingilari — bo‘linma koeffitsiyentlari.
2x³ − 3x² + 5 ni x − 2 ga Gorner sxemasi bilan bo‘ling.
Butun koeffitsiyentli ko‘phadning butun ildizlari ozod hadning bo‘luvchilari orasida bo‘ladi. Sababi: a ildiz bo‘lsa, P(a) = 0 tenglikdagi barcha hadlar a ga bo‘linadi, demak ozod had ham a ga bo‘linadi.
Algoritm:
Foydali kuzatish: koeffitsiyentlar yig‘indisi 0 bo‘lsa, x = 1 ildiz; juft va toq darajali hadlar koeffitsiyentlari yig‘indilari teng bo‘lsa, x = −1 ildiz.
x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 ni yeching.