Ko‘rsatkichli tenglama va tengsizliklar

Ko‘rsatkichli tenglamada noma’lum daraja ko‘rsatkichida turadi: 2ˣ = 8, 4ˣ − 3·2ˣ + 2 = 0. Bunday tenglamalar foiz o‘sishi, bakteriyalar ko‘payishi, radioaktiv yemirilish kabi jarayonlarni tasvirlaydi, imtihonda esa har yili bir nechta savol shu mavzudan beriladi. Yechishning asosiy g‘oyasi — ikki tomonni bir xil asosga keltirish yoki yangi o‘zgaruvchi kiritish. Bularning hammasi daraja xossalari va ko‘rsatkichli funksiyaning monotonligiga tayanadi.

§1. Daraja xossalari (takrorlash)

Ko‘rsatkichli tenglamalarni yechishda daraja xossalarini erkin qo‘llash kerak. a > 0, b > 0 uchun:

Bu xossalar tenglamadagi barcha darajalarni bitta asosga keltirish uchun kerak: 8 = 2³, 1/4 = 2⁻², √2 = 2^(1/2), 0,125 = 2⁻³, 1/27 = 3⁻³.
E’tibor bering: 2ˣ + 2ˣ = 2 · 2ˣ = 2ˣ⁺¹, lekin 4ˣ emas. Daraja yig‘indisi uchun alohida formula yo‘q, faqat ko‘paytma va bo‘linma uchun bor.

§2. Ko‘rsatkichli funksiya

• Aniqlanish sohasi — barcha haqiqiy sonlar; qiymatlar sohasi — (0; +∞): aˣ har doim musbat.
• a > 1 da o‘suvchi, 0 < a < 1 da kamayuvchi.
• Grafik (0; 1) nuqtadan o‘tadi; Ox o‘qi — gorizontal asimptota.

Asos a > 0 bo‘lishi shart, chunki manfiy asosda, masalan, (−4)^(1/2) haqiqiy son sifatida aniqlanmagan. a = 1 esa chiqarib tashlanadi, chunki 1ˣ = 1 — o‘zgarmas son.
Funksiya qat’iy monoton, demak har bir qiymatni faqat bir marta qabul qiladi. Shundan asosiy qoida kelib chiqadi:

Shuningdek, aˣ = b tenglama b > 0 da yagona yechimga ega (x = logₐ b), b ≤ 0 da esa yechimi yo‘q. Masalan, 3ˣ = −9 ning ildizi yo‘q.

§3. Bir xil asosga keltirish

Tenglamaning ikkala tomonini bir xil asosli daraja ko‘rinishiga keltiramiz, so‘ng ko‘rsatkichlarni tenglaymiz.

• 9ˣ = 27 → 3²ˣ = 3³ → 2x = 3 → x = 3/2.
• (1/4)ˣ = 32 → 2⁻²ˣ = 2⁵ → x = −5/2.
• 2^(x² − x) = 4 → x² − x = 2 → x² − x − 2 = 0 → x = 2 yoki x = −1.

Har xil asos, bir xil ko‘rsatkich: aˣ = bˣ → (a/b)ˣ = 1 → x = 0. Ko‘paytmani birlashtirish ham foydali: 3ˣ·2ˣ = 6ˣ, shuning uchun 3ˣ·2ˣ = 36 → 6ˣ = 6² → x = 2.
Agar bir xil asosga keltirib bo‘lmasa, logarifm ishlatiladi: 2ˣ = 5 → x = log₂ 5.

§4. Umumiy ko‘paytuvchini chiqarish va almashtirish

Umumiy ko‘paytuvchi. Ko‘rsatkichlar bir-biridan songa farq qilsa (x + 1, x, x − 2), eng kichik darajani qavsdan tashqariga chiqaramiz.

Misol

5ˣ⁺¹ − 5ˣ = 100 ni yeching.

1. 5ˣ⁺¹ = 5 · 5ˣ, shuning uchun 5ˣ ni chiqaramiz: 5ˣ(5 − 1) = 100.
2. 4 · 5ˣ = 100 → 5ˣ = 25.
3. 5ˣ = 5² → x = 2.

Almashtirish. Tenglamada a²ˣ va aˣ bo‘lsa, t = aˣ belgilaymiz, chunki a²ˣ = (aˣ)² = t². Natijada kvadrat tenglama hosil bo‘ladi.

Masalan, 4ˣ − 3·2ˣ + 2 = 0 → t² − 3t + 2 = 0 → t = 1; 2 → x = 0; 1.

Misol (rasmiy namunadan)

3³ˣ − 2·3²ˣ + 9·3ˣ⁻² = 0 ning ildizlari yig‘indisi?

1. 9·3ˣ⁻² = 3²·3ˣ⁻² = 3ˣ.
2. t = 3ˣ > 0: t³ − 2t² + t = 0 → t(t − 1)² = 0.
3. t = 0 yaramaydi, t = 1 → 3ˣ = 1 → x = 0.
4. Javob: 0.

§5. Bir jinsli ko‘rsatkichli tenglamalar

A·a²ˣ + B·(ab)ˣ + C·b²ˣ = 0 ko‘rinishidagi tenglama bir jinsli deyiladi. Masalan, 4ˣ, 6ˣ, 9ˣ bir vaqtda qatnashadi: 4ˣ = (2ˣ)², 9ˣ = (3ˣ)², 6ˣ = 2ˣ·3ˣ. Bunday tenglamaning ikki tomonini b²ˣ ga (masalan, 9ˣ ga) bo‘lamiz — bu ifoda hech qachon nolga teng emas, shuning uchun bo‘lish xavfsiz — va t = (a/b)ˣ almashtirishga o‘tamiz.

Misol

4ˣ + 6ˣ = 2·9ˣ ni yeching.

1. Ikki tomonni 9ˣ > 0 ga bo‘lamiz: (4/9)ˣ + (6/9)ˣ = 2.
2. t = (2/3)ˣ > 0: (4/9)ˣ = t², (6/9)ˣ = t, demak t² + t − 2 = 0.
3. t = 1 yoki t = −2; t = −2 yaramaydi.
4. (2/3)ˣ = 1 → x = 0. Javob: x = 0.

§6. Ko‘rsatkichli tengsizliklar

Tengsizlikda ham ikki tomonni bir xil asosga keltiramiz, ammo endi asosning qiymati hal qiluvchi:

Sababi monotonlikda: o‘suvchi funksiyada katta argumentga katta qiymat mos keladi, kamayuvchida esa aksincha.

• (1/2)ˣ > 8 → (1/2)ˣ > (1/2)⁻³ → x < −3.
• (1/3)ˣ ≥ 9 → (1/3)ˣ ≥ (1/3)⁻² → x ≤ −2.
• 2ˣ > −5 — har qanday x da bajariladi, chunki 2ˣ > 0.

Misol

4ˣ − 5·2ˣ + 4 < 0 ni yeching.

1. t = 2ˣ > 0: t² − 5t + 4 < 0.
2. (t − 1)(t − 4) < 0 → 1 < t < 4.
3. 1 < 2ˣ < 4 → 2⁰ < 2ˣ < 2²; asos 2 > 1, belgi saqlanadi.
4. Javob: 0 < x < 2.

O‘zingizni tekshiring

1. 2ˣ⁺¹ = 16 ni yeching.

2. 9ˣ = 27 ni yeching.

3. 4ˣ − 3·2ˣ + 2 = 0 ni yeching.

4. (1/2)ˣ > 8 ni yeching.

5. 3ˣ·2ˣ = 36 ni yeching.

6. 2ˣ⁺³ + 2ˣ = 72 ni yeching.

7. 3²ˣ⁺¹ − 10·3ˣ + 3 = 0 ning ildizlari yig‘indisi.

8. 3ˣ = −9 tenglamaning nechta ildizi bor?

Ko‘p uchraydigan xatolar

• Asos 0 < a < 1 bo‘lganda tengsizlik belgisini o‘zgartirmaslik.
• t = aˣ almashtirishda manfiy yoki nol t ni qoldirish.
• 2ˣ + 2ˣ = 4ˣ deb hisoblash (to‘g‘risi 2·2ˣ = 2ˣ⁺¹).
• aˣ = 0 yoki aˣ = −b ga yechim izlash (ko‘rsatkichli funksiya faqat musbat qiymat oladi).
• Almashtirishdan keyin t ni topib, x ga qaytishni unutish.