Tenglamalar sistemasi

Tenglamalar sistemasi — bir nechta shartni bir vaqtda qanoatlantiruvchi qiymatlarni topish masalasi. Ikki yoki undan ortiq noma’lumli matnli masalalarning deyarli barchasi sistemaga keltiriladi: narxlar, tezliklar, aralashmalar, ish unumdorligi. Bu darsda yechish usullari (o‘rniga qo‘yish, qo‘shish, yangi o‘zgaruvchi kiritish), chiziqli sistemaning yechimlar soni va parametrli masalalar, chiziqli bo‘lmagan sistemalar hamda masalalarni sistemaga keltirish tushuntiriladi.

§1. Asosiy tushunchalar

Bir nechta tenglama figurali qavs bilan birlashtirilsa, sistema hosil bo‘ladi. Sistemaning yechimi — barcha tenglamalarni bir vaqtda to‘g‘ri tenglikka aylantiruvchi sonlar juftligi (x; y) (yoki uchligi (x; y; z)). Faqat bitta tenglamani qanoatlantiruvchi juftlik yechim emas.
Geometrik ma’no: har bir tenglama tekislikda chiziq (to‘g‘ri chiziq, parabola, aylana) beradi, sistemaning yechimlari esa shu grafiklarning kesishish nuqtalari. Shuning uchun yechimlar soni grafiklar necha marta kesishishiga bog‘liq.

Ikki sistema teng kuchli deyiladi, agar ularning yechimlari to‘plami bir xil bo‘lsa. Barcha yechish usullari sistemani teng kuchli, lekin soddaroq sistemaga almashtirishga asoslangan. Topilgan juftlikni ikkala tenglamaga qo‘yib tekshirish — eng ishonchli nazorat.

§2. O‘rniga qo‘yish usuli

Algoritm:

1. Bir tenglamadan bitta noma’lumni ikkinchisi orqali ifodalaymiz.
2. Uni ikkinchi tenglamaga qo‘yamiz — bir noma’lumli tenglama hosil bo‘ladi.
3. Uni yechib, topilgan qiymatni 1-qadamdagi ifodaga qo‘yamiz.

Qaysidir noma’lumning koeffitsiyenti 1 yoki −1 bo‘lsa, aynan uni ifodalash qulay — kasrlar paydo bo‘lmaydi. Bu usul ayniqsa bitta tenglama chiziqli, ikkinchisi esa chiziqli bo‘lmagan sistemalarda samarali.

Misol

2x + 3y = 13, 3x − y = 3 ni yeching.

1. Ikkinchisidan y = 3x − 3.
2. 2x + 3(3x − 3) = 13 → 11x − 9 = 13 → x = 2.
3. y = 3·2 − 3 = 3. Javob: (2; 3).

§3. Qo‘shish usuli

Tenglamalarni mos sonlarga ko‘paytirib, so‘ng qo‘shamiz yoki ayiramiz — bitta noma’lum yo‘qoladi. Nega bu mumkin? Agar A = B va C = D bo‘lsa, A + C = B + D ham to‘g‘ri; demak yangi tenglama sistemaning barcha yechimlarida bajariladi.
Koeffitsiyentlar qarama-qarshi bo‘lsa (2y va −2y), to‘g‘ridan to‘g‘ri qo‘shamiz; teng bo‘lsa — ayiramiz; aks holda avval ko‘paytiramiz. Ko‘paytirganda tenglamaning ikkala tomoni ko‘paytiriladi.

Misol

3x + 2y = 7, 5x − 2y = 9 ni yeching.

1. y oldidagi koeffitsiyentlar qarama-qarshi — qo‘shamiz: 8x = 16 → x = 2.
2. Birinchisiga qo‘yamiz: 3·2 + 2y = 7 → 2y = 1.
3. y = 1/2. Javob: (2; 1/2).

§4. Chiziqli sistemaning yechimlar soni

Ikki to‘g‘ri chiziq yo kesishadi, yo parallel, yo ustma-ust tushadi. a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂ uchun:

Sababi: a₁/a₂ = b₁/b₂ bo‘lsa, to‘g‘ri chiziqlarning burchak koeffitsiyentlari −a/b teng, ya’ni ular parallel. Erkin hadlar ham proporsional bo‘lsa, bitta tenglama ikkinchisining karralisi — bu bitta chiziq.
Bu jadval parametrli masalalarda asosiy vosita: "a ning qanday qiymatida yechim yo‘q / cheksiz ko‘p" degan savollarga shu shartlar bilan javob beriladi.

Misol

a ning qanday qiymatida x + 2y = 3, 2x + ay = 5 sistemaning yechimi yo‘q?

1. Yechim yo‘qligi uchun 1/2 = 2/a → a = 4.
2. Erkin hadlar: c₁/c₂ = 3/5 ≠ 1/2 — shart bajariladi.
3. Javob: a = 4.

§5. Chiziqli bo‘lmagan sistemalar

• Biri chiziqli bo‘lsa — o‘rniga qo‘yish usuli; natijada odatda kvadrat tenglama chiqadi va yechimlar ikkita bo‘lishi mumkin.
• Simmetrik sistemalar (x va y o‘rin almashsa o‘zgarmaydi): u = x + y, v = xy almashtirish.

• Kvadratlar ayirmasi: x² − y² = (x − y)(x + y) — bir tenglamani ikkinchisiga bo‘lish.
• Bir jinsli tenglama (x² − 5xy + 6y² = 0 kabi) — y² ga bo‘lib, t = x/y ni topish.

Simmetrik sistemada har bir yechim (a; b) bilan birga (b; a) ham yechim bo‘ladi — javobda ikkalasini yozishni unutmang.

Misol

x² + y² = 25, x + y = 7 ni yeching.

1. xy = ((x + y)² − (x² + y²))/2 = (49 − 25)/2 = 12.
2. x va y — t² − 7t + 12 = 0 ning ildizlari: 3 va 4.
3. Javob: (3; 4) va (4; 3).

§6. Uch noma’lumli sistemalar va matnli masalalar

Uch noma’lumli chiziqli sistemada ham shu g‘oya: tenglamalarni juft-juft qo‘shib yoki ayirib, bitta noma’lumni yo‘qotamiz va ikki noma’lumli sistemaga o‘tamiz (Gauss usuli).
Matnli masalani sistemaga keltirish tartibi:

1. Noma’lumlarni aniq belgilaymiz (birligi bilan: "x — ruchka narxi, so‘mda").
2. Har bir shartni alohida tenglama qilib yozamiz.
3. Sistemani yechib, javobni masala ma’nosi bo‘yicha tekshiramiz (narx, vaqt manfiy bo‘lmaydi).

Misol

x + y + z = 6, x − y + z = 2, 2x + y − z = 1 ni yeching.

1. Birinchidan ikkinchisini ayiramiz: 2y = 4 → y = 2.
2. Qolgan ikki tenglama: x + z = 4, 2x − z = −1.
3. Qo‘shamiz: 3x = 3 → x = 1, z = 3. Javob: (1; 2; 3).

Misol

30 % li va 10 % li eritmalardan 20 l 25 % li eritma tayyorlash kerak. Har biridan necha litr olinadi?

1. x — 30 % li, y — 10 % li eritma hajmi: x + y = 20.
2. Tuz miqdori: 0,3x + 0,1y = 0,25 · 20 = 5.
3. y = 20 − x ni qo‘yamiz: 0,3x + 2 − 0,1x = 5 → 0,2x = 3 → x = 15, y = 5.

O‘zingizni tekshiring

1. x + y = 10, x − y = 4 ni yeching.

2. x − y = 2, xy = 15 ni yeching.

3. x² − y² = 16, x − y = 2 ni yeching.

4. 2 ta ruchka va 3 ta daftar 13 000 so‘m, 3 ta ruchka va 2 ta daftar 12 000 so‘m. Daftar narxi qancha?

5. 2x − y = 1, 4x − 2y = 2 sistemaning nechta yechimi bor?

6. x + y = 5, xy = 6 ni yeching.

7. 4x + 3y = 12, 3x + 4y = 2 ni yeching.

8. a ning qanday qiymatida 3x + ay = 6, x + 2y = 2 sistemaning yechimi cheksiz ko‘p?

Ko‘p uchraydigan xatolar

• Bitta noma’lumni topib, ikkinchisini topmasdan javob berish.
• Simmetrik sistemada (x; y) va (y; x) juftlardan birini yo‘qotish.
• Qo‘shish usulida tenglamani songa ko‘paytirib, o‘ng tomonni ko‘paytirmaslik.
• Yechimlar soni masalasida c₁/c₂ nisbatini tekshirmaslik.
• Ayirishda ikkinchi tenglamaning barcha hadlari ishorasini o‘zgartirmaslik.
• Matnli masalada javobni ma’no bo‘yicha (manfiy narx, kasr odam soni) tekshirmaslik.