Электрическое поле и потенциал

Заряды действуют друг на друга не напрямую, а через окружающее их электрическое поле. Поле — особый вид материи: оно всегда существует вокруг заряда, обладает энергией и действует с силой на другие заряды. Поле описывают две величины: напряжённость (силовая характеристика) и потенциал (энергетическая характеристика). Эта тема — ключ к пониманию конденсатора, тока, электронно-лучевых приборов и даже строения атома.

§1. Напряжённость поля

Чтобы «почувствовать» поле, вносим в него малый положительный пробный заряд q и измеряем действующую на него силу. Отношение силы к заряду не зависит от пробного заряда — это свойство поля в данной точке:

Напряжённость — вектор, направленный так же, как сила, действующая на положительный пробный заряд. На отрицательный заряд сила направлена против поля: F = qE.

Поле точечного заряда следует из закона Кулона:

Напряжённость обратно пропорциональна квадрату расстояния: при увеличении расстояния в 2 раза E уменьшается в 4 раза. Снаружи заряженной сферы поле такое же, как если бы весь заряд был в её центре, а внутри поле равно нулю.

Пример

На заряженное тело действуют электрическая сила и сила тяжести: равнодействующая равна 32 мН и направлена горизонтально, сила тяжести 24 мН. Найдите электрическую силу.

1. F_э = R − mg (векторная разность). R горизонтальна, mg вертикальна — они перпендикулярны.
2. F_э = √(32² + 24²) = √(1024 + 576) = √1600.
3. F_э = 40 мН.

§2. Силовые линии и принцип суперпозиции

Поле изображают силовыми линиями: касательная к линии в каждой точке направлена по вектору E, а густота линий показывает величину E.

• Силовые линии начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных (или уходят в бесконечность).
• Они никогда не пересекаются и не замкнуты (для электростатического поля).

Поле нескольких зарядов находят по принципу суперпозиции: поле каждого заряда не зависит от других, результирующая напряжённость — векторная сумма:

Однородное поле — поле, напряжённость которого во всех точках одинакова; силовые линии параллельны и одинаково густы. Такое поле создаётся между пластинами плоского конденсатора.

Пример

Заряды +4 нКл и −4 нКл находятся в воздухе на расстоянии 20 см. Какова напряжённость в точке посередине между ними?

1. До каждого заряда r = 0,1 м: E₁ = E₂ = 9·10⁹·4·10⁻⁹/0,1² = 3600 В/м.
2. Поле положительного заряда направлено от него, отрицательного — к нему; оба вектора направлены к отрицательному заряду, то есть в одну сторону.
3. E = 3600 + 3600 = 7200 В/м.

§3. Потенциал и напряжение

Работа сил электростатического поля не зависит от формы траектории, а только от начальной и конечной точек (как в поле тяготения). Поэтому можно ввести потенциальную энергию W заряда в поле.

• Потенциал — скаляр: потенциалы нескольких зарядов складываются алгебраически, с учётом знака.
• Эквипотенциальные поверхности (точки с одинаковым потенциалом) перпендикулярны силовым линиям; работа при перемещении вдоль них равна нулю.
• Силовые линии направлены в сторону убывания потенциала.

Потенциальная энергия заряда в поле W = qφ. Положительный заряд сам движется туда, где потенциал меньше, а отрицательный (например, электрон) — туда, где потенциал больше: в обоих случаях потенциальная энергия убывает, а кинетическая растёт. Это похоже на тяготение: тело само падает вниз. Нулевой уровень потенциала выбирают произвольно (обычно на бесконечности или на Земле), а физический смысл имеет разность потенциалов, которая от этого выбора не зависит.
В атомной физике используют единицу энергии электронвольт: 1 эВ = 1,6·10⁻¹⁹ Дж — энергия, которую получает электрон, пройдя разность потенциалов 1 В.

Пример

Покоившийся электрон ускорился, пройдя разность потенциалов 100 В. Какую энергию и скорость он получил (m = 9,1·10⁻³¹ кг)?

1. E_к = eU = 1,6·10⁻¹⁹·100 = 1,6·10⁻¹⁷ Дж (100 эВ).
2. v = √(2E_к/m) = √(2·1,6·10⁻¹⁷/9,1·10⁻³¹).
3. v ≈ 5,9·10⁶ м/с.

§4. Проводник и диэлектрик в поле

В проводнике есть свободные электроны. Во внешнем поле они смещаются и создают заряды на поверхности (электростатическая индукция), поле которых полностью компенсирует внешнее поле внутри:

• внутри проводника статическое поле равно нулю, весь проводник имеет один потенциал;
• избыточный заряд располагается только на поверхности и гуще собирается на остриях (на этом основан громоотвод);
• замкнутая металлическая оболочка защищает внутреннюю область от внешнего поля — электростатическая защита (клетка Фарадея). Поэтому в грозу в автомобиле относительно безопасно.

В диэлектрике свободных зарядов нет, но молекулы в поле поляризуются: положительные и отрицательные заряды немного смещаются или полярные молекулы поворачиваются вдоль поля. Поляризационные заряды ослабляют поле в ε раз:

§5. Движение заряженной частицы в поле

В однородном поле на частицу действует постоянная сила, значит, и ускорение постоянно:

• Если частица летит вдоль поля, она движется равноускоренно; скорость удобно находить через энергию: mv²/2 = qU.
• Если частица влетает перпендикулярно полю, она описывает параболу, как тело, брошенное горизонтально: поперёк поля скорость постоянна, вдоль поля — ускорение a.
• Равновесие заряженной капли (опыт Милликена): qE = mg. Милликен (1909–1913) этим методом измерил заряд электрона.

По этому принципу работают отклоняющие пластины электронно-лучевой трубки.

Пример

Электрон влетает параллельно пластинам конденсатора со скоростью v₀ = 10⁷ м/с. Поле E = 10⁴ В/м, длина пластин 5 см. На сколько отклонится электрон?

1. Ускорение: a = eE/m = 1,6·10⁻¹⁹·10⁴/9,1·10⁻³¹ ≈ 1,76·10¹⁵ м/с².
2. Время пролёта: t = l/v₀ = 0,05/10⁷ = 5·10⁻⁹ с.
3. Отклонение: y = at²/2 = 1,76·10¹⁵·(5·10⁻⁹)²/2 ≈ 0,022 м = 2,2 см.

Проверьте себя

1. На заряд 2 нКл действует сила 4 мкН. Напряжённость поля?

2. Расстояние от точечного заряда увеличили в 3 раза. Во сколько раз уменьшится E?

3. Расстояние между пластинами 2 см, напряжение 200 В. Напряжённость?

4. Заряд 5 мкКл переместился между точками с разностью потенциалов 300 В. Работа поля?

5. Чему равен потенциал в точке посередине между зарядами +q и −q?

6. Капля массой 10⁻⁶ кг висит в поле E = 10⁴ В/м. Её заряд (g = 10 м/с²)?

7. Напряжённость и потенциал на расстоянии 30 см от заряда 1 нКл (в воздухе)?

8. Чему равна напряжённость поля внутри заряженного металлического шара?

Типичные ошибки

• Складывать потенциалы как векторы или напряжённости как скаляры.
• Путать зависимость E и φ от расстояния: E ∝ 1/r², φ ∝ 1/r.
• Применять U = Ed в неоднородном поле.
• Думать, что там, где поле равно нулю, равен нулю и потенциал (внутри проводника E = 0, но φ ≠ 0).
• Считать, что сила на отрицательный заряд тоже направлена по E.