Ёмкость и конденсаторы

Конденсатор — устройство для накопления заряда и энергии электрического поля. Он есть во вспышке фотоаппарата, дефибрилляторе, колебательном контуре радиоприёмника, памяти компьютера, схемах пуска электродвигателей и почти на любой электронной плате. Тема переносит знания об электрическом поле на практические задачи и готовит почву для темы «Электромагнитные колебания».

§1. Электрическая ёмкость

Если уединённому проводнику сообщить заряд, его потенциал растёт пропорционально заряду. Коэффициент пропорциональности показывает способность проводника накапливать заряд:

Ёмкость не зависит от заряда и напряжения — только от размеров, формы, взаимного расположения проводников и окружающей среды. Если заряд увеличить в 2 раза, напряжение тоже вырастет в 2 раза, а отношение не изменится.

1 Ф — очень большая единица: ёмкостью 1 Ф обладал бы шар радиусом 9·10⁹ м (примерно в 1400 раз больше радиуса Земли). На практике используют меньшие единицы: 1 мкФ = 10⁻⁶ Ф, 1 нФ = 10⁻⁹ Ф, 1 пФ = 10⁻¹² Ф.

§2. Устройство конденсатора и плоский конденсатор

Ёмкость уединённого проводника мала. Чтобы накопить много заряда, используют конденсатор — два проводника (обкладки), разделённые тонким слоем диэлектрика. При зарядке обкладки получают равные и противоположные заряды (+q и −q); зарядом конденсатора называют заряд одной обкладки q. Поле почти целиком сосредоточено между обкладками.

Плоский конденсатор — две параллельные пластины на расстоянии d:

• Площадь обкладок S растёт — ёмкость растёт.
• Расстояние d растёт — ёмкость уменьшается.
• При внесении диэлектрика ёмкость растёт в ε раз (диэлектрик поляризуется, ослабляет поле, и при том же напряжении помещается больше заряда).

Поле внутри однородно: E = U/d.
По типу диэлектрика конденсаторы бывают бумажные, керамические, слюдяные, электролитические; в конденсаторе переменной ёмкости одна группа пластин поворачивается, и меняется площадь перекрытия — так настраивают радиоприёмник. На каждом конденсаторе указано наибольшее допустимое напряжение: при его превышении диэлектрик пробивается.

Пример

Площадь каждой пластины 100 см², расстояние между ними 1 мм, между ними воздух. Найдите ёмкость.

1. Переводим в СИ: S = 100·10⁻⁴ = 10⁻² м², d = 10⁻³ м.
2. C = ε₀S/d = 8,85·10⁻¹²·10⁻²/10⁻³.
3. C = 8,85·10⁻¹¹ Ф ≈ 88,5 пФ.

§3. Конденсатор, подключённый к источнику и отключённый

Если в задаче меняются параметры конденсатора (d, S, ε), сначала определите его состояние:

• Подключён к источнику — напряжение не меняется: U = const. Если ёмкость растёт, от источника приходит дополнительный заряд: q = CU.
• Отключён от источника — заряду некуда уйти: q = const. Если ёмкость растёт, напряжение падает: U = q/C.

От этого зависит и то, как изменятся энергия и напряжённость поля.

Пример

Расстояние между пластинами отключённого конденсатора увеличили в 2 раза. Как изменятся C, U, E и W?

1. q = const, C = εε₀S/d — уменьшится в 2 раза.
2. U = q/C — увеличится в 2 раза.
3. E = U/d — не изменится (и U, и d выросли в 2 раза).
4. W = q²/(2C) — увеличится в 2 раза: внешняя сила совершила работу, раздвигая пластины.

§4. Соединение конденсаторов

• Два конденсатора последовательно: C = C₁C₂/(C₁ + C₂).
• n одинаковых конденсаторов: параллельно nC₀, последовательно C₀/n.
• Формулы обратны формулам для резисторов: параллельное соединение как бы увеличивает площадь обкладок, последовательное — расстояние между ними.

При последовательном соединении напряжение распределяется обратно пропорционально ёмкостям: на конденсаторе меньшей ёмкости напряжение больше. Поэтому для работы при высоком напряжении конденсаторы соединяют последовательно, а для большой ёмкости — параллельно.

Пример

В воздушный конденсатор ёмкостью C полностью ввели диэлектрик с проницаемостью ε и последовательно с ним включили конденсатор Cₓ; общая ёмкость стала C/2. Найдите Cₓ.

1. Ёмкость с диэлектриком: εC.
2. Последовательное соединение: 2/C = 1/(εC) + 1/Cₓ → 1/Cₓ = (2ε − 1)/(εC).
3. Cₓ = εC/(2ε − 1).

§5. Энергия конденсатора

При зарядке источник переносит заряд с одной обкладки на другую и совершает работу; так как напряжение растёт постепенно от нуля до U, среднее напряжение равно U/2:

Энергия сосредоточена в электрическом поле между обкладками. Чтобы раздвинуть пластины отключённого конденсатора, нужно совершить работу, и энергия растёт; у подключённого конденсатора процесс идёт с обменом энергией с источником.

Подставив в W = CU²/2 для плоского конденсатора C = εε₀S/d и U = Ed, найдём энергию в единице объёма:

Эта формула верна не только для конденсатора, а для любого электрического поля: энергия находится не в зарядах, а в самом поле.

Если заряженный конденсатор соединить с незаряженным, заряд сохранится, но часть энергии уйдёт в теплоту в проводах и в излучение.

Пример

Конденсатор 10 мкФ заряжен до 200 В. Каковы заряд и энергия?

1. q = CU = 10⁻⁵·200 = 2·10⁻³ Кл.
2. W = CU²/2 = 10⁻⁵·4·10⁴/2 = 0,2 Дж.

Пример

Конденсатор 2 мкФ, заряженный до 100 В, подключили параллельно к такому же незаряженному. Как изменятся напряжение и энергия?

1. Заряд сохраняется: q = 2·10⁻⁶·100 = 2·10⁻⁴ Кл; общая ёмкость 4 мкФ.
2. U = q/C = 2·10⁻⁴/(4·10⁻⁶) = 50 В.
3. Энергия: до 2·10⁻⁶·100²/2 = 0,01 Дж, после 4·10⁻⁶·50²/2 = 0,005 Дж — половина перешла в теплоту.

§6. Применение конденсаторов

• Быстрая отдача энергии: вспышка фотоаппарата и дефибриллятор медленно заряжают конденсатор и отдают энергию за доли секунды — получается очень большая мощность.
• Колебательный контур: конденсатор и катушка задают нужную частоту в радиоприёмниках и передатчиках.
• Фильтры: конденсатор не пропускает постоянный ток, но пропускает переменный; в блоках питания он сглаживает «пульсации» напряжения.
• Сенсорные экраны и клавиатуры: при касании пальцем меняется ёмкость, и устройство это замечает.
• Ионисторы (суперконденсаторы) — устройства ёмкостью в фарады и больше; их используют как быстро заряжаемые и разряжаемые источники энергии.

Проверьте себя

1. При заряде 4 мкКл напряжение на конденсаторе 20 В. Ёмкость?

2. Конденсаторы 2 мкФ и 3 мкФ соединены параллельно. Общая ёмкость?

3. А если те же конденсаторы соединить последовательно?

4. В подключённый к источнику конденсатор ввели диэлектрик с ε = 2. Во сколько раз изменится заряд?

5. Напряжение увеличили в 3 раза. Во сколько раз выросла энергия?

6. Три конденсатора по 6 мкФ соединены последовательно. Общая ёмкость?

7. Какое напряжение нужно, чтобы в конденсаторе дефибриллятора 100 мкФ накопить 200 Дж?

8. Зависит ли ёмкость от напряжения на конденсаторе?

Типичные ошибки

• Записывать формулы соединения как для резисторов: для конденсаторов они обратные.
• Не различать случаи U = const и q = const.
• Не переводить мкФ, пФ и см² в СИ.
• Думать, что ёмкость зависит от напряжения или заряда.
• Считать, что при соединении конденсаторов сохраняется энергия: сохраняется заряд.