Постоянный ток и закон Ома

Электрический ток — упорядоченное (направленное) движение заряженных частиц. Цепи постоянного тока работают везде — от карманного фонарика до автомобиля, телефона и компьютера. Если твёрдо знать связь силы тока, напряжения и сопротивления — закон Ома — и правила соединения проводников, можно шаг за шагом упростить и рассчитать даже сложную схему. Эта тема — основа для тем «Работа и мощность тока», «Конденсатор» и «Ток в различных средах».

§1. Электрический ток и сила тока

Для существования тока нужны три условия:

• свободные заряды (в металле — свободные электроны, в электролите — ионы);
• электрическое поле, приводящее их в движение, — его создаёт источник тока;
• замкнутая цепь.

Сила тока — заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за единицу времени:

За направление тока условно принято направление движения положительных зарядов — от «+» источника по внешней цепи к «−». В металле электроны движутся в обратную сторону.

Силу тока можно выразить и через микроскопические величины:

где n — концентрация свободных зарядов (число в 1 м³), e — заряд, v — скорость упорядоченного движения (дрейфа), S — площадь сечения. Скорость дрейфа электронов очень мала (доли миллиметра в секунду), но лампа загорается сразу: по цепи почти со скоростью света распространяется электрическое поле, и все электроны начинают двигаться одновременно.

Пример

По медному проводу сечением 1 мм² течёт ток 1 А. Концентрация свободных электронов n = 8,5·10²⁸ м⁻³. Найдите скорость дрейфа.

1. S = 1 мм² = 1·10⁻⁶ м².
2. v = I/(neS) = 1/(8,5·10²⁸·1,6·10⁻¹⁹·10⁻⁶).
3. v ≈ 7,4·10⁻⁵ м/с — всего 0,07 мм в секунду.

§2. Напряжение и закон Ома для участка цепи

Напряжение — работа электрического поля по перемещению единичного заряда:

Немецкий физик Георг Ом (1827) установил, что сила тока в проводнике прямо пропорциональна напряжению на его концах:

Величина R — сопротивление, единица ом (Ом): 1 Ом = 1 В/А. Для металлического проводника график I(U) (вольт-амперная характеристика) — прямая через начало координат; чем меньше её наклон, тем больше сопротивление.

Измерительные приборы: амперметр включают последовательно, его сопротивление должно быть очень малым; вольтметр включают параллельно измеряемому участку, его сопротивление должно быть очень большим. Тогда приборы почти не меняют ток и напряжение в цепи.

§3. От чего зависит сопротивление

Двигаясь, электроны сталкиваются с ионами кристаллической решётки — в этом причина сопротивления.

• ρ — удельное сопротивление, Ом·м (на практике часто Ом·мм²/м): медь 0,017, алюминий 0,028, нихром 1,1 Ом·мм²/м. 1 Ом·мм²/м = 10⁻⁶ Ом·м.
• Если длина провода увеличится в 2 раза, R вырастет в 2 раза; если диаметр увеличится в 2 раза, площадь сечения вырастет в 4 раза (S = πd²/4), а R уменьшится в 4 раза.
• Сопротивление металла растёт с температурой: ионы колеблются сильнее и больше мешают электронам.

Некоторые вещества при очень низкой температуре полностью теряют сопротивление — это сверхпроводимость (открыта Камерлинг-Оннесом на ртути в 1911 году).

Пример

Сопротивление алюминиевого провода при 0 °C равно 3,5 Ом, α = 0,0028 К⁻¹. На сколько оно увеличится при 200 °C?

1. ΔR = R₀·α·t = 3,5·0,0028·200.
2. ΔR = 1,96 Ом, то есть сопротивление станет 5,46 Ом.

§4. Соединение проводников

• Два параллельных сопротивления: R = R₁R₂/(R₁ + R₂); n одинаковых R₀: R = R₀/n.
• При параллельном соединении общее сопротивление меньше наименьшего из сопротивлений.
• При последовательном соединении напряжение распределяется прямо пропорционально сопротивлениям: U₁/U₂ = R₁/R₂.
• В параллельных ветвях ток обратно пропорционален сопротивлениям: I₁/I₂ = R₂/R₁.

Расчёт смешанной схемы: начиная с самой внутренней параллельной или последовательной группы, сведите схему к одному эквивалентному сопротивлению, найдите общий ток, затем вернитесь назад и найдите ток и напряжение на каждом участке. Розетки в квартире соединены параллельно: каждый прибор получает 220 В, и если один выключить, остальные продолжают работать.

Пример

К резистору 4 Ом последовательно подключена параллельная группа из 6 Ом и 12 Ом; на цепь подано 24 В. Найдите ток в каждом резисторе.

1. Параллельный участок: 6·12/(6 + 12) = 4 Ом.
2. Общее сопротивление: R = 4 + 4 = 8 Ом, общий ток I = 24/8 = 3 А — он идёт через 4 Ом.
3. Напряжение на параллельном участке: U = 3·4 = 12 В.
4. Токи в ветвях: I₆ = 12/6 = 2 А, I₁₂ = 12/12 = 1 А (в сумме 3 А — верно).

§5. Расширение пределов измерения амперметра и вольтметра

• Чтобы амперметр измерял больший ток, параллельно ему подключают малое сопротивление — шунт. Для измерения тока в n раз больше:

• Чтобы вольтметр измерял большее напряжение, последовательно с ним включают добавочное сопротивление:

Логика проста: шунт забирает лишний ток, а добавочное сопротивление — лишнее напряжение.

Пример

Амперметром с сопротивлением 0,9 Ом и пределом 1 А нужно измерять ток до 10 А. Какой нужен шунт?

1. n = 10/1 = 10.
2. R_ш = 0,9/(10 − 1) = 0,1 Ом, включается параллельно амперметру.

§6. ЭДС и закон Ома для полной цепи

Внутри источника заряды против электрических сил перемещают сторонние силы: в батарейке — химические, в генераторе — электромагнитные. Электродвижущая сила (ЭДС) ℰ — работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда, измеряется в вольтах. Сам источник тоже обладает сопротивлением — внутренним r.

• Цепь разомкнута (I = 0): U = ℰ — вольтметр показывает ЭДС.
• Короткое замыкание (R ≈ 0): I = ℰ/r — наибольший ток, источник может перегреться и выйти из строя; поэтому ставят предохранители.
• Источники последовательно (в одном направлении): ℰ = ℰ₁ + ℰ₂, r = r₁ + r₂.
• n одинаковых источников параллельно: ЭДС та же ℰ, внутреннее сопротивление r/n.

Пример

От источника с ℰ = 6 В, r = 0,25 Ом берут ток 2 А. Найдите напряжение на зажимах и внешнее сопротивление.

1. U = ℰ − Ir = 6 − 2·0,25 = 5,5 В.
2. R = U/I = 5,5/2 = 2,75 Ом.
3. Проверка: I = 6/(2,75 + 0,25) = 2 А — верно.

Проверьте себя

1. За 2 минуты через провод прошёл заряд 240 Кл. Сила тока?

2. Сопротивление медного провода длиной 100 м и сечением 1,7 мм² (ρ = 0,017 Ом·мм²/м)?

3. Четыре резистора по 8 Ом соединены параллельно. Общее сопротивление?

4. ℰ = 12 В, r = 1 Ом, R = 5 Ом. Сила тока?

5. Ток короткого замыкания этого источника?

6. Провод вытянули вдвое, не меняя объёма. Во сколько раз изменится сопротивление?

7. Вольтметром с сопротивлением 1000 Ом и пределом 10 В нужно измерять до 100 В. Добавочное сопротивление?

8. Две батарейки (1,5 В; 0,5 Ом) соединены последовательно и замкнуты на резистор 2 Ом. Сила тока?

Типичные ошибки

• Просто складывать сопротивления при параллельном соединении.
• Путать мм² и м²: смотрите, в каких единицах дано ρ.
• Всегда считать напряжение на зажимах равным ЭДС: U = ℰ − Ir.
• Забывать связь диаметра и площади сечения: S ∝ d².
• Включать амперметр параллельно, а вольтметр последовательно.
• Думать, что электроны бегут по проводу со скоростью света: быстро распространяется поле, а электроны дрейфуют медленно.