Работа и мощность тока, закон Джоуля–Ленца

Электрический ток совершает работу: светит лампа, нагревается чайник, вращается двигатель. В этой теме разберём, как вычислять работу и мощность тока, закон Джоуля–Ленца, КПД источника и стоимость электроэнергии. Все формулы следуют из закона Ома (I = U/R), поэтому их важно понимать, а не заучивать.

§1. Работа электрического тока

Электрическое поле совершает работу, перемещая заряд между точками с разностью потенциалов U: A = qU. Так как q = It:

С помощью закона Ома её можно записать ещё двумя способами:

• A — работа, джоуль (J); U — напряжение (V); I — сила тока (A); t — время (s).
• A = UIt верна для любого потребителя, а I²Rt и U²t/R — только для чисто активного сопротивления, где вся энергия идёт в тепло.
• На практике энергию измеряют в киловатт-часах: 1 kW·h = 1000 W · 3600 s = 3,6·10⁶ J.

Пример

Через чайник, включённый в сеть 220 V, 10 минут шёл ток 5 A. Какую работу совершил ток?

1. Время в секундах: t = 10·60 = 600 s.
2. A = UIt = 220·5·600 = 660 000 J = 660 kJ.

Пример

Электромобиль (1200 kg, ε = 400 V) затормозил с 30 до 5 m/s и вернул энергию в аккумулятор. Какой заряд вернулся?

1. Изменение кинетической энергии: ΔE = ½·1200·(30² − 5²) = 600·875 = 525 000 J = 525 kJ.
2. Из A = qε: q = 525 000/400 = 1312,5 C.

§2. Мощность тока

Мощность — работа за единицу времени:

Единица — ватт (W): 1 W = 1 J/s = 1 V·A.

Выбор формулы зависит от соединения:

• При последовательном соединении ток одинаков, удобна P = I²R: больше мощность у потребителя с большим сопротивлением.
• При параллельном соединении одинаково напряжение, удобна P = U²/R: больше мощность у потребителя с меньшим сопротивлением.

Надпись на приборе (например, «220 V, 100 W») — номинальные значения. По ним находят сопротивление: R = U²/P. При другом напряжении мощность меняется пропорционально U².

Пример

Лампы «220 V, 40 W» и «220 V, 100 W» включены последовательно в сеть 220 V. Какая горит ярче?

1. Сопротивления: R₁ = 220²/40 = 1210 Ω, R₂ = 220²/100 = 484 Ω.
2. Ток: I = 220/(1210 + 484) = 220/1694 ≈ 0,13 A.
3. Мощности: P₁ = I²R₁ ≈ 0,01687·1210 ≈ 20,4 W, P₂ = I²R₂ ≈ 0,01687·484 ≈ 8,2 W.
4. Ответ: ярче лампа 40 W — при последовательном соединении больше мощность у большего сопротивления.

§3. Закон Джоуля–Ленца

При прохождении тока электроны сталкиваются с ионами кристаллической решётки и отдают им энергию — проводник нагревается.

Количество теплоты пропорционально квадрату силы тока, сопротивлению и времени. Поэтому в линиях электропередачи выгодно уменьшать ток (повышать напряжение): при уменьшении тока в 10 раз потери падают в 100 раз.

В задачах о нагревателях записывают баланс энергии:

где c — удельная теплоёмкость (для воды 4200 J/(kg·K)).

Пример

За какое время нагреватель мощностью 1 kW с КПД 80 % доведёт 2 kg воды от 20 °C до кипения?

1. Нужная теплота: Q = 4200·2·80 = 672 000 J.
2. Полезная мощность: 0,8·1000 = 800 W.
3. t = 672 000/800 = 840 s = 14 min.

§4. Мощность в полной цепи и КПД источника

Для источника с внутренним сопротивлением r: I = ε/(R + r). Полная мощность источника P = εI, полезная (во внешней цепи) P_п = I²R = UI.

Внешняя мощность P_п = ε²R/(R + r)² зависит от нагрузки и максимальна при `R = r`:

Значит, максимальная мощность и максимальный КПД не достигаются одновременно: с ростом R КПД стремится к 100 %, но мощность падает.

Пример

ε = 12 V, r = 2 Ω. Найдите наибольшую мощность во внешней цепи.

1. Условие: R = r = 2 Ω, ток I = 12/4 = 3 A.
2. P_max = I²R = 9·2 = 18 W (проверка: ε²/4r = 144/8 = 18 W).
3. КПД: η = 2/4 = 50 %.

§5. Стоимость электроэнергии

Счётчик измеряет энергию в kW·h. Алгоритм:

1. Переведите мощность в киловатты.
2. Переведите время в часы.
3. Умножьте E = Pt (kW·h) на тариф.

Пример

Кондиционер 2 kW работает 3 часа в день. Тариф 1000 сумов за 1 kW·h. Сколько стоит месяц (30 дней)?

1. За день: 2·3 = 6 kW·h; за 30 дней 180 kW·h.
2. Стоимость: 180·1000 = 180 000 сумов.

§6. Электродвигатель: полезная работа и тепло

В двигателе большая часть электрической энергии превращается в механическую работу, а меньшая — в нагрев обмоток. По закону сохранения энергии:

Здесь R — сопротивление обмотки. Во вращающемся двигателе возникает противо-ЭДС, поэтому ток намного меньше U/R. Если двигатель «заклинит» (он перестанет вращаться), противо-ЭДС исчезает, ток вырастает до U/R и вся мощность идёт в тепло — двигатель может сгореть. Поэтому в приборах с двигателями ставят предохранители и тепловую защиту.

Пример

Через двигатель на 12 V идёт ток 2 A, сопротивление обмотки 1 Ω. Механическая мощность, КПД и скорость, с которой он поднимет груз 10 kg? (g = 10 m/s²)

1. Потребляемая мощность: UI = 12·2 = 24 W.
2. Тепло: I²R = 4·1 = 4 W; механическая мощность 24 − 4 = 20 W.
3. η = 20/24 ≈ 83 %.
4. P = mgv → v = 20/(10·10) = 0,2 m/s.

Проверьте себя

1. Через резистор 10 Ω минуту шёл ток 2 A. Сколько выделилось теплоты?

2. Найдите ток и сопротивление лампы «220 V, 60 W».

3. Нагреватель 1,5 kW работал 4 часа. Энергия в kW·h и J?

4. Резисторы 2 Ω и 4 Ω включены параллельно на 12 V. Мощность каждого?

5. ε = 24 V, r = 1 Ω, R = 5 Ω. Ток, полезная мощность, КПД?

6. Спираль нагревателя укоротили, и её сопротивление уменьшилось вдвое (напряжение прежнее). Как изменится мощность?

7. Через двигатель на 220 V идёт ток 5 A, сопротивление обмотки 4 Ω. Механическая мощность и КПД?

8. Двигатель на 12 V с сопротивлением обмотки 1 Ω заклинило. Ток и тепловая мощность?

Типичные ошибки

• Считать, что и при параллельном соединении ярче лампа с большим сопротивлением: при параллельном P = U²/R, ярче та, у которой сопротивление меньше.
• Считать номинальную мощность неизменной при любом напряжении: сначала найдите R = U²/P.
• Не переводить kW·h в джоули или минуты в секунды.
• Применять A = U²t/R к двигателю: это верно только для чистого сопротивления, для двигателя A = UIt.
• Думать, что при максимальной мощности максимален и КПД: при R = r КПД всего 50 %.
• Считать ток двигателя по I = U/R: во вращающемся двигателе из-за противо-ЭДС ток гораздо меньше.