Электромагнитные колебания, колебательный контур

В простейшей цепи из конденсатора и катушки заряд, ток и напряжение периодически меняются — это электромагнитные колебания. Они очень похожи на механические (пружинный маятник), поэтому и формулы похожи. Радио- и телеприёмники, мобильные телефоны и любые радиопередатчики не работают без колебательного контура.

§1. Колебательный контур и процессы в нём

Колебательный контур — замкнутая цепь из конденсатора (C) и катушки (L). Если зарядить конденсатор и замкнуть его на катушку, начнётся процесс:

1. t = 0: конденсатор полностью заряжен, тока нет — вся энергия в электрическом поле: W = q_max²/(2C).
2. Конденсатор разряжается через катушку; из-за самоиндукции ток нарастает не сразу, а постепенно.
3. t = T/4: заряд равен нулю, ток максимален — вся энергия в магнитном поле: W = LI_max²/2.
4. Самоиндукция не даёт току сразу прекратиться, и конденсатор перезаряжается с обратной полярностью (t = T/2).
5. Процесс повторяется в обратном направлении, и при t = T контур возвращается в исходное состояние.

Почему ток не прекращается, когда заряд становится равным нулю? ЭДС самоиндукции в катушке препятствует любому изменению тока — катушка играет роль инертности (массы) в механике. Как груз, проходящий положение равновесия, не останавливается, так и ток продолжает идти и перезаряжает конденсатор.

Механическая аналогия: заряд q ↔ смещение x, ток i ↔ скорость v, индуктивность L ↔ масса m, 1/C ↔ жёсткость k.

§2. Формула Томсона

В идеальном контуре (сопротивление R = 0) колебания гармонические:

• L — генри (H), C — фарад (F), T — секунда (s), ν — герц (Hz).
• Сравните с формулой пружинного маятника T = 2π√(m/k).
• Период пропорционален √L и √C: при увеличении ёмкости в 4 раза период растёт в 2 раза.

Пример

L = 1 mH, C = 10 μF. Период и частота?

1. LC = 10⁻³·10⁻⁵ = 10⁻⁸ s², √(LC) = 10⁻⁴ s.
2. T = 2π·10⁻⁴ ≈ 6,28·10⁻⁴ s.
3. ν = 1/T ≈ 1,6·10³ Hz = 1,6 kHz.

§3. Графики заряда, тока и напряжения

Помимо формулы Томсона, в задачах часто дают уравнение колебаний и просят «прочитать» из него величины. Общий вид:

• Напряжение на конденсаторе колеблется в фазе с зарядом: U_max = q_max/C.
• Ток опережает заряд на четверть периода (на π/2): когда заряд максимален, ток равен нулю, а когда заряд равен нулю, ток максимален.
• Связь циклической частоты ω (рад/с) и обычной частоты ν (Гц): ω = 2πν = 2π/T.

На графиках q(t) и u(t) — косинусоиды, а i(t) — синусоида с обратным знаком. Это как у механического маятника: при наибольшем смещении скорость равна нулю, а при прохождении положения равновесия она наибольшая.

Пример

Заряд в контуре меняется по закону q = 2·10⁻⁵·cos(500t) (Кл), C = 10 мкФ. Найдите период, частоту, индуктивность, наибольшие ток и напряжение.

1. Из уравнения ω = 500 рад/с, q_max = 2·10⁻⁵ Кл.
2. T = 2π/ω = 6,28/500 ≈ 0,0126 с, ν = 1/T ≈ 79,6 Гц.
3. Из ω² = 1/(LC): L = 1/(ω²C) = 1/(500²·10⁻⁵) = 0,4 Гн.
4. I_max = ωq_max = 500·2·10⁻⁵ = 0,01 А, U_max = q_max/C = 2·10⁻⁵/10⁻⁵ = 2 В.
5. Проверка (энергия): CU²/2 = 10⁻⁵·4/2 = 2·10⁻⁵ Дж и LI²/2 = 0,4·10⁻⁴/2 = 2·10⁻⁵ Дж — равны, верно.

§4. Сохранение энергии

В идеальном контуре полная энергия постоянна:

Отсюда I_max = U_max·√(C/L). Энергия «перетекает» между электрическим и магнитным полем с периодом T/2 — то есть энергия колеблется вдвое быстрее заряда.

Пример

Конденсатор ёмкостью 2 μF зарядили до 100 V и подключили к катушке L = 0,5 H. Энергия контура и максимальный ток?

1. W = CU²/2 = 2·10⁻⁶·10⁴/2 = 0,01 J.
2. I_max = √(2W/L) = √(0,02/0,5) = √0,04 = 0,2 A.
3. Проверка: U√(C/L) = 100·√(4·10⁻⁶) = 100·2·10⁻³ = 0,2 A.

§5. Затухающие, вынужденные колебания и автоколебания

• В реальном контуре есть сопротивление: энергия переходит в джоулево тепло, амплитуда убывает — затухающие колебания.
• Под действием внешней переменной ЭДС — вынужденные колебания. Когда внешняя частота совпадает с собственной частотой контура, амплитуда резко растёт — резонанс.
• Автоколебания — незатухающие колебания, энергия которых вовремя пополняется от источника. Так работает транзисторный генератор: транзистор как «ключ» каждый период подаёт энергию в контур.

Пример

Какая ёмкость нужна, чтобы контур с катушкой L = 0,1 H был в резонансе на частоте 50 Hz?

1. ω = 2π·50 ≈ 314 rad/s, условие резонанса ω² = 1/(LC).
2. C = 1/(ω²L) = 1/(314²·0,1) ≈ 1/9860 ≈ 1,0·10⁻⁴ F = 100 μF.

Скорость затухания зависит от активного сопротивления контура: чем больше R, тем быстрее убывает амплитуда, а при очень большом сопротивлении колебаний нет вовсе — конденсатор просто разряжается. Форма резонансной кривой тоже зависит от сопротивления: при малом R резонанс острый и высокий, то есть контур хорошо различает близкие частоты. На этом основана «избирательность» приёмника: нужная станция принимается громко, а станции на соседних частотах почти не слышны.

§6. Настройка радиоприёмника

Контур приёмника настраивают в резонанс на частоту нужной станции (обычно конденсатором переменной ёмкости). Связь длины волны и частоты:

Значит, λ ~ √C, ν ~ 1/√C.

Пример

Приёмник настроен на 6 MHz, а нужно принять волну 200 m. Как изменить ёмкость?

1. Нужная частота: ν = 3·10⁸/200 = 1,5·10⁶ Hz = 1,5 MHz.
2. Частоту надо уменьшить в 6/1,5 = 4 раза.
3. ν ~ 1/√C, значит √C увеличить в 4 раза, а C — в 16 раз.

Проверьте себя

1. L = 0,4 H, C = 10 μF. Период колебаний?

2. Ёмкость увеличили в 4 раза. Как изменятся период и частота?

3. Максимальный заряд конденсатора ёмкостью 1 μF равен 10 μC. Энергия контура?

4. С момента полной зарядки конденсатора прошло T/4. Где находится энергия?

5. Какой длине волны соответствует контур L = 2 μH, C = 50 pF?

6. В какой момент энергии электрического и магнитного полей равны?

Типичные ошибки

• Забывать, что частота обратно пропорциональна не C, а √C.
• Путать период контура с периодом тока в сети.
• Не переводить μF, pF, mH в СИ: 1 μF = 10⁻⁶ F, 1 pF = 10⁻¹² F, 1 mH = 10⁻³ H.
• Считать, что энергия колеблется с тем же периодом, что и заряд: её период T/2.
• Считать, что при максимальном токе напряжение на конденсаторе тоже максимально: на самом деле оно равно нулю.
• Принимать ω из уравнения за частоту ν: ν = ω/(2π).