Законы идеального газа

Идеальный газ — одна из самых удачных моделей физики: молекулы малы, как точки, и взаимодействуют только при столкновениях. В обычных условиях воздух, кислород, азот, водород очень хорошо подчиняются этой модели, и три макроскопические величины — давление p, объём V и температура T — связаны одним уравнением. Это уравнение объясняет шины, газовые баллоны, воздушные шары, двигатели и погодные явления и служит основой термодинамики.

§1. Идеальный газ и параметры состояния

В модели идеального газа:

• собственный объём молекул очень мал по сравнению с объёмом сосуда;
• притяжение между молекулами не учитывается;
• столкновения абсолютно упругие.

Реальный газ близок к идеальному при низком давлении и высокой температуре; при сильном сжатии или охлаждении он превращается в жидкость, и модель перестаёт работать.

Состояние газа задают три параметра:

• Давление p — отношение силы ударов молекул о стенку сосуда к площади, Па: 1 атм ≈ 1,013·10⁵ Па, 760 мм рт. ст..
• Объём V, м³: 1 л = 1 дм³ = 10⁻³ м³.
• Абсолютная температура T, К: T = t + 273. В газовых законах температуру всегда берут в кельвинах, потому что в них есть пропорциональность T, а 0 К — нижний предел теплового движения молекул.

Эти параметры полностью определяют состояние газа: зная два из них, третий находят из уравнения состояния.
Количество газа — количество вещества ν = m/M = N/N_A (моль), N_A = 6,02·10²³ моль⁻¹.

§2. Уравнение Менделеева–Клапейрона

Уравнение состояния идеального газа:

Его можно записать и через концентрацию молекул n = N/V:

Из уравнения следует плотность газа:

При нормальных условиях (T = 273 К, p = 1,013·10⁵ Па) 1 моль любого газа занимает 22,4 л — важен не род газа, а только число молей.

Пример

В баллоне объёмом 8,31 л при 300 К находится 2 моль газа. Каково давление?

1. Переводим объём в СИ: V = 8,31·10⁻³ м³.
2. p = νRT/V = 2·8,31·300/(8,31·10⁻³).
3. p = 600/10⁻³ = 6·10⁵ Па.

Пример

Найдите плотность воздуха при 27 °C и 10⁵ Па (M = 0,029 кг/моль).

1. T = 27 + 273 = 300 К.
2. ρ = pM/(RT) = 10⁵·0,029/(8,31·300).
3. ρ ≈ 1,16 кг/м³.

§3. Объединённый газовый закон и изопроцессы

Если масса (и род) газа не меняются, из уравнения Менделеева–Клапейрона следует pV/T = νR = const:

Процессы, в которых один параметр постоянен, называются изопроцессами:

• Изотермический (T = const), закон Бойля–Мариотта: pV = const. Если газ сжимать медленно, его температура успевает выравниваться с окружающей.
• Изобарный (p = const), закон Гей-Люссака: V/T = const. Например, нагревание газа в цилиндре с подвижным поршнем.
• Изохорный (V = const), закон Шарля: p/T = const. Например, нагревание закрытого баллона или шины.

Молекулярное объяснение: при изотермическом сжатии скорость молекул не меняется, но растёт концентрация — ударов о стенку больше, и давление растёт. При изохорном нагревании концентрация не меняется, но молекулы движутся быстрее и ударяют о стенку сильнее и чаще. При изобарном нагревании газ расширяется, уменьшая концентрацию и тем самым компенсируя рост скорости.
Эти законы — частные случаи уравнения идеального газа; на опыте их открывали по отдельности в XVII–XIX веках.

Пример

Газ изобарно нагрели от 27 °C до 127 °C. Во сколько раз увеличился объём?

1. Переводим в кельвины: T₁ = 300 К, T₂ = 400 К.
2. V₂/V₁ = T₂/T₁ = 400/300 ≈ 1,33.
3. Внимание: если считать в °C, получится 127/27 ≈ 4,7 — совершенно неверно.

Пример

На дне озера (глубина 10 м) образовался пузырёк воздуха объёмом 1 см³ и всплыл. Температура постоянна, атмосферное давление 10⁵ Па. Каков его объём у поверхности?

1. Давление на дне: p₁ = p₀ + ρgh = 10⁵ + 1000·10·10 = 2·10⁵ Па.
2. Изотермический процесс: p₁V₁ = p₂V₂.
3. V₂ = 2·10⁵·1/10⁵ = 2 см³.

§4. Графики изопроцессов

В координатах p–V, V–T, p–T:

• Изотерма в p–V — гипербола (более высокая гипербола — более высокая температура); в V–T и p–T — прямая, перпендикулярная оси T.
• Изобара в V–T — прямая через начало координат; чем больше наклон, тем меньше давление (V = νRT/p). В p–V — прямая, параллельная оси V.
• Изохора в p–T — прямая через начало координат; больше наклон — меньше объём. В p–V — прямая, параллельная оси p.

В задаче с графиком сначала определите, какая величина постоянна на каждом участке, а затем «перенесите» процесс в другие координаты. Помните: прямая через начало координат в V–T — изобара, в p–T — изохора.

§5. Процессы с изменением массы и закон Дальтона

Если газ выходит из баллона или добавляется, объединённый газовый закон не работает — уравнение Менделеева–Клапейрона нужно записать для каждого состояния отдельно. При V = const масса m ∝ p/T.

В смеси газов, не вступающих в химическую реакцию, каждый газ ведёт себя так, будто он один в сосуде:

pᵢ — парциальное давление. Давление воздуха — тоже сумма парциальных давлений азота, кислорода и других газов.

Пример

Газ в баллоне при 300 К имел давление 10 МПа. После того как часть газа израсходовали, температура упала до 270 К, а давление — до 6 МПа. Какую часть газа израсходовали?

1. Так как V = const, m₂/m₁ = (p₂/T₂)/(p₁/T₁).
2. m₂/m₁ = (6/270)/(10/300) = 0,0222/0,0333 ≈ 0,667.
3. Осталось 2/3, значит, израсходовали 1/3 газа.

Пример

В сосуде объёмом 0,0249 м³ при 300 К находятся 1 моль азота и 0,5 моль кислорода. Давление смеси?

1. Общее количество вещества: ν = 1 + 0,5 = 1,5 моль.
2. p = νRT/V = 1,5·8,31·300/0,0249.
3. p ≈ 1,5·10⁵ Па (парциальное давление азота 10⁵ Па, кислорода 0,5·10⁵ Па).

Проверьте себя

1. При изотермическом сжатии объём уменьшился в 3 раза. Как изменилось давление?

2. Газ в баллоне нагрели от 0 °C до 273 °C (V = const). Во сколько раз выросло давление?

3. Какой объём занимает 1 моль газа при нормальных условиях?

4. Объём газа увеличили в 2 раза, температуру — в 3 раза. Как изменилось давление?

5. 16 г кислорода (M = 32 г/моль) при 300 К занимают 0,0249 м³. Давление?

6. Из баллона выпустили половину газа, температура не изменилась. Как изменилось давление?

7. Давление в шине при 7 °C равно 2·10⁵ Па. Каким оно станет при 37 °C (V = const)?

8. Какой процесс изображает прямая через начало координат на графике V–T?

Типичные ошибки

• Подставлять температуру в °C: в газовых законах — только кельвины.
• Применять p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂, когда масса газа меняется.
• Оставлять объём в литрах или массу в граммах при расчёте с R = 8,31.
• Путать наклон изобары в V–T и давление: больше наклон — меньше давление.
• Забывать добавить атмосферное давление к давлению под жидкостью.