Основы термодинамики

Термодинамика изучает переход энергии от одного тела к другому в форме теплоты и работы. Она объясняет тепловые двигатели (автомобиль, турбина ТЭС), холодильники, кондиционеры и энергетику любого процесса с газом. В отличие от молекулярно-кинетической теории, термодинамика не говорит о молекулах — она работает только с макроскопическими величинами (p, V, T, Q, A, U). На экзамене по этому разделу дают и сложные задачи с графиками и несколькими этапами.

§1. Внутренняя энергия

Внутренняя энергия тела U — сумма кинетической энергии хаотического движения всех его частиц и потенциальной энергии их взаимодействия. В идеальном газе молекулы не взаимодействуют, поэтому внутренняя энергия зависит только от температуры:

Для двухатомного газа коэффициент 5/2. Внутренняя энергия — функция состояния: её изменение зависит только от начального и конечного состояний, а не от того, каким путём шёл газ. В замкнутом цикле ΔU = 0.
Внутреннюю энергию можно изменить двумя способами:

• совершением работы — сжатием газа, трением (трение ладоней, нагрев насоса при накачке шины);
• теплопередачей — теплопроводностью, конвекцией, излучением.

§2. Работа газа

Газ, расширяясь и перемещая поршень, совершает работу. При постоянном давлении:

В общем случае работа газа равна площади под графиком p–V.

• При расширении (ΔV > 0) работа газа положительна, при сжатии — отрицательна (тогда внешние силы совершают работу над газом: A_внеш = −A).
• В изохорном процессе ΔV = 0, значит, A = 0.
• Работа зависит от процесса: между одними и теми же начальным и конечным состояниями по разным путям работа разная.
• В замкнутом цикле полная работа газа — площадь, ограниченная циклом; если цикл на p–V обходится по часовой стрелке, работа положительна.

Пример

Гелий под поршнем массой 20 кг в цилиндре с площадью основания 1 дм² изобарно нагрели, и поршень поднялся на 30 см, p₀ = 100 кПа. Какую работу совершил газ?

1. Давление газа: p = p₀ + mg/S = 10⁵ + 200/0,01 = 1,2·10⁵ Па.
2. Изменение объёма: ΔV = S·h = 0,01·0,3 = 3·10⁻³ м³.
3. A = pΔV = 1,2·10⁵·3·10⁻³ = 360 Дж.

§3. Первый закон термодинамики

Закон сохранения энергии для тепловых процессов:

Знаки: если газ получает теплоту, Q > 0, отдаёт — Q < 0; если газ расширяется, A > 0.

• Изотермический (T = const): ΔU = 0, Q = A — вся теплота превращается в работу.
• Изохорный (V = const): A = 0, Q = ΔU.
• Изобарный (одноатомный газ): Q = ΔU + A = (3/2)νRΔT + νRΔT = (5/2)νRΔT = (5/2)pΔV.
• Адиабатный (Q = 0, нет теплообмена или процесс очень быстрый): A = −ΔU — при расширении газ охлаждается, при сжатии нагревается. В дизельном двигателе воздух быстро сжимают, и он нагревается настолько, что воспламеняет топливо; газ, быстро выходящий из баллона, охлаждается.

Из первого закона следует невозможность вечного двигателя (первого рода): никакая машина не может совершать работу без затраты энергии.

Пример

2 моль одноатомного газа изобарно нагрели на 100 К. Найдите ΔU, A и Q.

1. ΔU = (3/2)νRΔT = 1,5·2·8,31·100 ≈ 2490 Дж.
2. A = νRΔT = 2·8,31·100 ≈ 1660 Дж.
3. Q = ΔU + A ≈ 4150 Дж (проверка: (5/2)νRΔT = 2,5·1662 ≈ 4150 Дж).

§4. Циклы и задачи с графиками

В задаче с графиком для каждого участка отдельно находят: какая величина постоянна, A (площадь), ΔU ((3/2)Δ(pV) для одноатомного газа) и Q = ΔU + A. На участках, где газ получает теплоту, Q > 0, где отдаёт — Q < 0.

Пример

Одноатомный газ совершает цикл 1(P₀; 5V₀) → 2(P₀; V₀) → 3(4P₀; V₀) → 1 (3→1 — прямая). Найдите работу за цикл и теплоту на участках 1→2 и 3→1.

1. Работа за цикл — площадь треугольника: A = ½·4V₀·3P₀ = 6P₀V₀.
2. 1→2 — изобарное сжатие: Q = (5/2)P₀·(V₀ − 5V₀) = −10P₀V₀ — газ отдаёт 10P₀V₀.
3. 3→1: ΔU = (3/2)(5P₀V₀ − 4P₀V₀) = 1,5P₀V₀; работа — площадь трапеции ½(4P₀ + P₀)·4V₀ = 10P₀V₀; Q = 11,5P₀V₀.

Пример

Одноатомному газу сообщили 6 кДж теплоты, в процессе V = k√T. Найдите работу газа и ΔU.

1. T ∝ V² и pV ∝ T → p ∝ V: график — прямая из начала координат, A = ½Δ(pV) = ½νRΔT.
2. Q = ΔU + A = (3/2 + 1/2)νRΔT = 2νRΔT = 6 кДж → νRΔT = 3 кДж.
3. A = 1,5 кДж, ΔU = 4,5 кДж.

§5. Тепловые двигатели и второй закон

Тепловой двигатель превращает внутреннюю энергию в механическую работу. В любом двигателе три части: нагреватель (температура T₁), рабочее тело (газ или пар) и холодильник (T₂, обычно атмосфера). Рабочее тело получает от нагревателя Q₁, отдаёт холодильнику Q₂ и совершает работу A = Q₁ − Q₂:

Формула Карно верна для температур в кельвинах; КПД реальных двигателей намного меньше (бензиновый двигатель примерно 25–30 %, дизельный около 35–40 %).
Второй закон термодинамики: теплота сама собой переходит только от более горячего тела к более холодному; не существует периодически действующего двигателя, превращающего в работу всю полученную теплоту (η < 1). Холодильник и кондиционер «принудительно» переносят теплоту от холодного тела к горячему — для этого внешний источник (компрессор) совершает работу.

Пример

Двигатель получает от нагревателя 10 кДж теплоты, КПД 25 %. Какую работу он совершает и сколько теплоты отдаёт холодильнику? Каков КПД Карно при нагревателе 500 К и холодильнике 300 К?

1. A = ηQ₁ = 0,25·10 = 2,5 кДж.
2. Q₂ = Q₁ − A = 10 − 2,5 = 7,5 кДж.
3. η_max = (500 − 300)/500 = 0,4 = 40 % — реальный КПД меньше, значит, результат логичен.

Проверьте себя

1. Газу сообщили 500 Дж теплоты, он совершил работу 200 Дж. ΔU?

2. 2 моль одноатомного газа нагрели на 100 К. ΔU?

3. При изохорном нагревании газу сообщили 400 Дж. Работа газа?

4. Нагреватель 500 К, холодильник 300 К. Наибольший КПД?

5. Как меняется температура газа при адиабатном расширении?

6. При давлении 10⁵ Па газ расширился с 2 л до 5 л. Работа?

7. В изотермическом процессе газу сообщили 800 Дж теплоты. Какую работу совершил газ?

8. КПД двигателя 30 %, работа за цикл 600 Дж. Сколько теплоты получено от нагревателя?

Типичные ошибки

• Забывать добавить к давлению вес поршня и атмосферное давление.
• Считать работу за цикл площадью под всем графиком: нужна только площадь внутри цикла.
• В изобарном процессе принимать Q = ΔU, то есть забывать A.
• Подставлять в КПД Карно температуру в °C.
• Путать знаки Q и A: газ отдаёт теплоту — Q < 0, сжимается — A < 0.