Молекулярно-кинетическая теория (МКТ) объясняет макроскопические величины — давление, температуру, внутреннюю энергию — движением и взаимодействием невидимых частиц. Почему газ давит на стенки сосуда, почему при нагревании давление растёт, что на самом деле измеряет температура — на эти вопросы МКТ даёт точный ответ. На этом фундаменте строятся газовые законы, термодинамика, агрегатные состояния и теплопередача.
§1. Три основных положения МКТ
Все вещества состоят из частиц — молекул, атомов и ионов; между частицами есть промежутки.
Частицы находятся в хаотическом непрерывном движении; оно называется тепловым движением.
Частицы взаимодействуют друг с другом: на очень малых расстояниях отталкиваются, на чуть больших — притягиваются.
Опытные доказательства:
Броуновское движение — непрерывное хаотическое движение мелких частиц в жидкости (например, пыльцы). Его наблюдал Броун в 1827 году; причина — нескомпенсированные удары молекул по частице с разных сторон. Теория Эйнштейна и опыты Перрена (начало XX века) через это явление строго доказали существование молекул.
Диффузия — самопроизвольное перемешивание веществ (распространение запаха, растворение сахара в чае). С ростом температуры диффузия ускоряется — значит, температура связана со скоростью движения частиц.
Лёгкая сжимаемость газов и уменьшение объёма при смешивании жидкостей показывают, что между частицами есть промежутки; сопротивление твёрдых тел растяжению показывает силы притяжения.
§2. Масса и размеры молекул
Молекулы очень малы и очень многочисленны, поэтому их удобно считать в молях:
M — молярная масса (кг/моль): M = M_r·10⁻³. Например, M(H₂O) = 18·10⁻³ кг/моль, M(O₂) = 32·10⁻³ кг/моль.
Масса одной молекулы: m₀ = M/N_A.
Концентрация молекул — их число в 1 м³: n = N/V (м⁻³).
Оценка размера молекулы: в жидкости молекулы упакованы плотно, значит, на одну молекулу приходится объём V₀ = M/(ρN_A), а линейный размер d ≈ ∛V₀. Размеры атомов и простых молекул порядка 10⁻¹⁰ м.
Пример
Сколько молекул в 36 г воды и каков размер одной молекулы воды?
Объём одной молекулы: V₀ = M/(ρN_A) = 0,018/(1000·6,02·10²³) ≈ 3·10⁻²⁹ м³.
d ≈ ∛(3·10⁻²⁹) ≈ 3·10⁻¹⁰ м.
§3. Идеальный газ и основное уравнение МКТ
В модели идеального газа молекулы — материальные точки, взаимодействующие только при (упругих) столкновениях. Давление газа — результат огромного числа ударов молекул о стенку сосуда. При каждом ударе молекула передаёт стенке импульс; число ударов зависит от концентрации, сила каждого удара — от скорости. Например, в воздухе при комнатных условиях о каждый квадратный сантиметр стенки за секунду ударяется порядка 10²³ молекул — поэтому отдельных ударов не заметно, и давление кажется постоянным. Расчёт даёт:
p = (1/3)·m₀·n·v̄²= (2/3)·n·Ē_к
Это основное уравнение МКТ: макроскопическое давление выражено через микроскопические величины (m₀, n, v̄²). Коэффициент 1/3 связан с тем, что молекулы с равной вероятностью движутся по трём направлениям пространства. С учётом ρ = m₀n: p = ρv̄²/3.
Пример
Давление газа 2,5·10⁵ Па, плотность 12 кг/м³. Найдите среднюю квадратичную скорость молекул.
p = ρv²/3 → v = √(3p/ρ) = √(3·2,5·10⁵/12).
v = √62 500.
v = 250 м/с.
§4. Температура — мера энергии молекул
Величина, одинаковая у тел в тепловом равновесии, — температура. МКТ связывает её со средней кинетической энергией молекул:
Ē_к = (3/2)·kT, k = 1,38·10⁻²³ Дж/К (постоянная Больцмана)
p = nkT
При одинаковой температуре средняя кинетическая энергия молекул любого газа одинакова — независимо от того, лёгкие они или тяжёлые.
Абсолютная шкала (Кельвина): T = t + 273. Абсолютный нуль (0 К ≈ −273 °C) — недостижимый предел, при котором энергия теплового движения молекул наименьшая.
Разность температур в кельвинах и градусах одинакова: ΔT = Δt.
Из p = nkT: при одинаковых давлении и температуре концентрация всех газов одинакова (закон Авогадро). При нормальных условиях n ≈ 2,7·10²⁵ м⁻³.
Пример
Найдите среднюю кинетическую энергию молекулы газа при 27 °C и концентрацию при давлении 10⁵ Па.
T = 27 + 273 = 300 К.
Ē_к = 1,5·1,38·10⁻²³·300 ≈ 6,2·10⁻²¹ Дж.
n = p/(kT) = 10⁵/(1,38·10⁻²³·300) ≈ 2,4·10²⁵ м⁻³.
§5. Скорости молекул
Из Ē_к = m₀v̄²/2 = 3kT/2 получаем среднюю квадратичную скорость:
v_кв = √(3kT/m₀) = √(3RT/M) = √(3p/ρ)
Скорость пропорциональна √T: если температура выросла в 4 раза, скорость выросла в 2 раза.
При одинаковой температуре лёгкие молекулы быстрее: молекула водорода в 4 раза быстрее молекулы кислорода (√(32/2) = 4).
Скорости молекул различны — одни медленные, другие быстрые; распределение по скоростям теоретически нашёл Максвелл. Скорость молекул прямо измерил Штерн (1920) в опыте с вращающимися цилиндрами. Хотя скорости молекул велики (сотни м/с), запах распространяется по комнате медленно: молекула очень часто сталкивается и движется по сложной ломаной линии.
Пример
Найдите средние квадратичные скорости молекул водорода (M = 0,002 кг/моль) и кислорода (M = 0,032 кг/моль) при 300 К.
Водород: v = √(3·8,31·300/0,002) ≈ 1930 м/с.
Кислород: v = √(3·8,31·300/0,032) ≈ 483 м/с.
Отношение ≈ 4 — равно корню из отношения молярных масс.
§6. Внутренняя энергия идеального газа
Внутренняя энергия тела — сумма кинетической энергии хаотического движения всех его частиц и потенциальной энергии их взаимодействия. В идеальном газе молекулы не взаимодействуют, поэтому внутренняя энергия — только кинетическая. Для одноатомного газа (гелий, неон, аргон):
U = N·(3/2)kT = (3/2)·νRT
Значит, внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры (и количества вещества); если объём меняется, а температура нет, внутренняя энергия не меняется. Многоатомные молекулы ещё и вращаются, поэтому коэффициент у них больше (для двухатомного газа 5/2). Эта формула — основной инструмент при применении первого закона термодинамики.
Пример
Какова внутренняя энергия 2 моль гелия при 300 К? На сколько она вырастет при нагревании на 100 К?
U = (3/2)·νRT = 1,5·2·8,31·300 ≈ 7480 Дж.
ΔU = (3/2)·νRΔT = 1,5·2·8,31·100 ≈ 2490 Дж.
Проверьте себя
Сколько кельвинов составляет 27 °C?
Сколько атомов в 4 г гелия (M = 4 г/моль)?
Абсолютная температура выросла в 4 раза. Во сколько раз изменилась v_кв?
Масса одной молекулы кислорода?
Отношение средних кинетических энергий молекул водорода и кислорода при одной температуре?
Концентрация выросла в 2 раза при той же температуре. Во сколько раз изменилось давление?
Концентрация молекул газа при 0 °C и 10⁵ Па?
Как называется хаотическое движение мелких частиц в жидкости?
Типичные ошибки
Оставлять молярную массу в г/моль: забывать множитель 10⁻³.
Подставлять температуру в °C.
Думать, что при одной температуре у молекул лёгкого газа больше кинетическая энергия: больше скорость, а энергия одинакова.
Считать v_кв линейно зависящей от температуры: она пропорциональна √T.
Считать броуновское движение движением самих молекул: видна крупная частица, по которой бьют молекулы.