Гидро- и аэростатика

Жидкости и газы не имеют собственной формы, но давят на стенки сосуда и на погружённые тела — и это давление передаётся во всех направлениях. Гидростатика изучает покоящиеся жидкости и газы: почему не тонет корабль, как гидравлический пресс поднимает автомобиль, как барометр «чувствует» погоду и почему плотины внизу строят толще. Эта тема — основа для тем «Гидродинамика» и «Газовые законы».

§1. Давление

Давление — отношение силы, действующей перпендикулярно поверхности, к площади этой поверхности:

Давление зависит не от силы, а от того, на какую площадь она распределена. Одна и та же сила на малой площади создаёт большое давление: острое лезвие ножа, игла, остриё гвоздя. Наоборот, лыжи, гусеницы трактора, широкий фундамент уменьшают давление и не дают телу провалиться в мягкую поверхность. На практике используют килопаскаль (1 кПа = 10³ Па) и мегапаскаль (1 МПа = 10⁶ Па).

Пример

Объём гранитной колонны 9 м³, площадь основания 1,4 м², ρ = 2800 кг/м³. Какое давление колонна оказывает на фундамент?

1. Масса: m = ρV = 2800·9 = 25 200 кг; вес F = mg = 252 000 Н.
2. p = F/S = 252 000/1,4 = 180 000 Па = 180 кПа.

§2. Гидростатическое давление жидкости

Из-за силы тяжести жидкость давит на нижние слои и на дно сосуда. Рассмотрим столб жидкости с основанием S и высотой h: его вес ρShg распределён по площади S:

• Давление зависит только от глубины и плотности жидкости, но не от формы сосуда и объёма жидкости (гидростатический парадокс): в широком и узком сосудах с одинаковым дном и одинаковым уровнем воды давление на дно одинаково.
• Во всех точках на одной глубине давление одинаково и действует одинаково во всех направлениях.
• На каждые 10 м глубины воды давление растёт примерно на 1 атмосферу (≈ 100 кПа).

Плотины внизу делают толще: с глубиной давление воды растёт. По той же причине подводные лодки и батискафы имеют очень прочный корпус.

§3. Закон Паскаля и гидравлические машины

Закон следует из того, что частицы жидкости и газа могут свободно перемещаться. Это показывает шар с отверстиями: при нажатии на поршень вода брызжет одинаково во все стороны.

Гидравлический пресс — два сообщающихся цилиндра с поршнями, заполненные жидкостью. Давление на малый поршень полностью передаётся большому:

Выигрыш в силе равен отношению площадей. Но по «золотому правилу» выигрыша в работе нет: жидкость несжимаема, вытесненные объёмы равны, S₁h₁ = S₂h₂, и большой поршень перемещается во столько же раз меньше. На этом принципе работают гидравлический пресс, тормоза автомобиля, домкрат, экскаваторы.

Пример

Площадь малого поршня пресса 2 см², большого — 200 см². На малый поршень подействовали силой 100 Н, и он опустился на 10 см. Какую силу развивает большой поршень и на сколько он поднимется?

1. Выигрыш в силе: S₂/S₁ = 200/2 = 100, значит F₂ = 100·100 = 10⁴ Н.
2. Объёмы равны: h₂ = h₁·S₁/S₂ = 10/100 = 0,1 см.
3. Проверка: A₁ = 100·0,1 = 10 Дж, A₂ = 10⁴·0,001 = 10 Дж — работы равны.

§4. Сообщающиеся сосуды

В сосудах, соединённых дном, однородная покоящаяся жидкость устанавливается на одном уровне — независимо от формы и сечения сосудов. На этом основаны водонапорная башня, носик чайника, шлюзы, водомерное стекло.

Если жидкости разные, давления равны на уровне границы раздела:

Столб менее плотной жидкости выше.

Пример

В U-образную трубку налили воду, затем в одно колено долили масло (ρ = 800 кг/м³) столбом 10 см. Какова разность уровней?

1. На уровне границы раздела давления равны: ρ_м·h_м = ρ_в·h_в.
2. h_в = 800·10/1000 = 8 см.
3. Разность уровней: 10 − 8 = 2 см (уровень масла выше).

§5. Атмосферное давление

Атмосфера Земли из-за веса воздуха давит на все тела. Впервые его измерил Торричелли (1643): трубка, запаянная с одного конца и заполненная ртутью, при опрокидывании в чашу с ртутью удерживает столб высотой около 760 мм, а над ним остаётся пустота.

Для такого опыта с водой нужна трубка длиннее 10 м. С высотой воздух разрежается и давление падает: у поверхности Земли примерно на 1 мм рт. ст. на каждые 12 м подъёма. Атмосферное давление измеряют барометром (ртутным или анероидом), давление газа в сосуде — манометром. Опыт с магдебургскими полушариями (Герике, XVII век) наглядно показал, как велико атмосферное давление.

§6. Сила Архимеда и плавание тел

Давление на нижнюю грань погружённого тела больше, чем на верхнюю (она глубже). Эта разница создаёт направленную вверх выталкивающую (архимедову) силу:

Сила Архимеда равна весу вытесненной телом жидкости и не зависит от плотности тела — только от плотности жидкости и объёма погружённой части. В газах действует такая же сила.

• ρ_тела > ρ_жидк — тело тонет; ρ_тела = ρ_жидк — плавает внутри жидкости в любом месте; ρ_тела < ρ_жидк — всплывает и плавает, частично погрузившись.
• Для плавающего тела mg = F_А, откуда доля погружённой части: V_п/V = ρ_тела/ρ_жидк.
• Вес в воде: P_в воде = mg − F_А.

Стальной корабль плавает, потому что в нём много заполненных воздухом полостей и его средняя плотность меньше плотности воды. Воздушные шары и дирижабли поднимаются благодаря архимедовой силе воздуха.

Пример

Лёд (ρ = 900 кг/м³) плавает в воде. Какая его часть под водой?

1. V_п/V = ρ_льда/ρ_воды = 900/1000 = 0,9.
2. Под водой 90 % льда, видно только 10 %.

Пример

Тело весит в воздухе 30 Н, в воде 20 Н. Какова его плотность?

1. Сила Архимеда: F_А = 30 − 20 = 10 Н.
2. Объём: V = F_А/(ρ_в·g) = 10/(1000·10) = 10⁻³ м³; масса m = 30/10 = 3 кг.
3. ρ = m/V = 3/10⁻³ = 3000 кг/м³.

Проверьте себя

1. Гидростатическое давление воды на глубине 50 м (без атмосферного)?

2. Малый поршень пресса 2 см², большой 200 см². На малый действует 100 Н. Сила большого поршня?

3. Тело объёмом 0,002 м³ полностью погрузили в воду. Сила Архимеда?

4. Полное давление на глубине 20 м (p₀ = 10⁵ Па)?

5. Дерево (ρ = 600 кг/м³) плавает в воде. Какая доля объёма погружена?

6. Шар с гелием объёмом 500 м³ (ρ_возд = 1,29, ρ_гелия = 0,18 кг/м³). Груз какой массы он поднимет (массу оболочки не учитывать)?

7. Зависит ли гидростатическое давление от формы сосуда?

8. Кусок железа тонет в воде. А в ртути (ρ_жел = 7800, ρ_рт = 13 600 кг/м³)?

Типичные ошибки

• Учитывать форму сосуда или объём жидкости в гидростатическом давлении.
• Подставлять в силу Архимеда плотность тела: нужна плотность жидкости.
• Ошибаться при переводе см² в м²: 1 см² = 10⁻⁴ м².
• Брать полный объём плавающего тела: нужна только погружённая часть.
• Думать, что гидравлический пресс даёт выигрыш не только в силе, но и в работе.