Статика изучает условия равновесия (покоя) тел. Проектирование мостов и зданий, подъём груза краном без опрокидывания, работа рычага и ножниц, нити подвесной лампы — всё это задачи статики. В каждой задаче нужно ответить на два вопроса: не сдвинется ли тело и не повернётся ли оно? Каждому вопросу соответствует своё условие равновесия. Тема — частный случай законов Ньютона, когда ускорение равно нулю.
§1. Основы статики
Для материальной точки условие равновесия одно — сумма сил равна нулю. Реальные тела могут не только сдвигаться, но и поворачиваться: дверь легко открыть, толкая за ручку, и трудно — толкая у петель. Значит, действие силы зависит и от того, куда она приложена. В статике обычно используют модель абсолютно твёрдого тела — тела, форма которого под действием сил не меняется. Силу, действующую на такое тело, можно переносить вдоль линии её действия — результат не изменится. Для равновесия тела должны выполняться два условия одновременно:
чтобы не было поступательного движения, — условие сил;
чтобы не было вращения, — условие моментов.
§2. Первое условие равновесия
ΣF⃗ = 0: векторная сумма всех сил равна нулю
На практике — сумма проекций на каждую ось равна нулю: ΣFₓ = 0, ΣF_y = 0. Выбор осей вдоль одной из неизвестных сил упрощает расчёт.
Пример
Лампа массой 2 кг подвешена на двух нитях; каждая нить образует с вертикалью угол 60°. Найдите натяжение нитей.
Горизонтальные составляющие равны и противоположны. По вертикали: 2T·cos 60° = mg.
T = mg/(2·cos 60°) = 20/(2·0,5) = 20 Н.
С ростом угла натяжение резко растёт: при 85° оно было бы в 5,7 раза больше mg — туго натянутая верёвка легко рвётся.
§3. Момент силы и второе условие равновесия
Плечо силыd — перпендикулярное расстояние от оси вращения до линии действия силы.
Момент силы: M = F·d, единица Н·м
Момент измеряет вращающее действие силы. Если сила проходит через ось, плечо и момент равны нулю. Знак момента договорённый: моменты, вращающие по часовой стрелке, одного знака, против — другого.
Второе условие: ΣM = 0, то есть ΣM_по часовой = ΣM_против
Если тело в равновесии, сумма моментов равна нулю относительно любой оси. Поэтому ось удобно выбирать в точке приложения неизвестной силы — она выпадает из уравнения.
Пример
Однородная доска длиной 2 м и массой 10 кг лежит на двух опорах на концах; на расстоянии 0,5 м от левого конца положили груз 40 кг. Найдите силы реакции опор.
Силы: вес доски 100 Н (в середине, 1 м от левого конца), груз 400 Н (0,5 м от левого конца), реакции N₁ (слева) и N₂ (справа).
Моменты относительно левой опоры: N₂·2 = 100·1 + 400·0,5 = 300 → N₂ = 150 Н.
Первое условие: N₁ = 500 − 150 = 350 Н.
§4. Рычаг и простые механизмы
Рычаг — твёрдое тело, способное вращаться вокруг опоры. Условие равновесия:
F₁d₁ = F₂d₂
Во сколько раз выигрываем в силе, во столько же проигрываем в расстоянии. Золотое правило механики: ни один простой механизм не даёт выигрыша в работе (при трении, наоборот, есть проигрыш).
Неподвижный блок — равноплечий рычаг: меняет направление силы, выигрыша в силе не даёт.
Подвижный блок — выигрыш в силе в 2 раза, но верёвку нужно вытянуть вдвое больше.
Полиспаст — система блоков; сила уменьшается во столько раз, сколько ветвей верёвки держат груз.
Наклонная плоскость: без трения F = mg·h/l.
Ворот, винт, клин, ножницы, клещи — тоже разновидности рычага или наклонной плоскости.
КПД реального механизма: η = A_полезн/A_затр = mgh/(Fl).
Пример
По наклонной плоскости длиной 5 м и высотой 1 м равномерно втащили груз 100 кг силой 250 Н. Каков КПД?
Полезная работа: A_п = mgh = 1000·1 = 1000 Дж.
Затраченная работа: A_з = F·l = 250·5 = 1250 Дж.
η = 1000/1250 = 0,8 = 80 % (без трения хватило бы 200 Н).
§5. Центр тяжести и виды равновесия
Центр тяжести — точка приложения равнодействующей сил тяжести, действующих на все части тела. У однородных симметричных тел он в центре симметрии: в середине стержня, в центре круга. Для точечных масс:
x_c = (m₁x₁ + m₂x₂ + ...)/(m₁ + m₂ + ...)
Тело, подвешенное за центр тяжести, находится в равновесии в любом положении. Виды равновесия:
Устойчивое — при отклонении тело возвращается (центр тяжести поднимается): висящий маятник, шар в ямке.
Неустойчивое — при отклонении тело падает (центр тяжести опускается): карандаш на острие, шар на вершине бугра.
Безразличное — равновесие в любом положении (высота центра тяжести не меняется): шар на ровном столе.
Тело, стоящее на площади опоры, не опрокидывается, пока вертикаль из центра тяжести не выходит за площадь опоры. Поэтому для устойчивости центр тяжести должен быть низко, а площадь опоры — широкой (гоночные автомобили, фундаменты башен).
Пример
К одному концу однородного стержня длиной 1 м и массой 2 кг прикреплён груз 3 кг. На каком расстоянии от этого конца центр тяжести системы?
Масса стержня — в его середине (x = 0,5 м), груз — на конце (x = 0).
x_c = (2·0,5 + 3·0)/(2 + 3) = 1/5 = 0,2 м.
§6. Алгоритм решения задач статики
Выделите тело в равновесии и изобразите все действующие на него силы: тяжести (в центре тяжести), реакции опор, натяжения нитей, трения.
Запишите первое условие в проекциях: ΣFₓ = 0, ΣF_y = 0.
Выберите ось вращения — по возможности в точке, где приложено больше неизвестных сил.
Найдите плечо каждой силы (перпендикуляр от оси до линии действия) и запишите ΣM = 0.
Решите систему; если реакция получилась отрицательной, её направление противоположно предположенному.
Если неизвестных больше, чем уравнений (например, стол на четырёх ножках), задача одной статикой не решается — нужно учитывать деформацию тела.
Проверьте себя
Короткое плечо рычага 20 см, длинное 1 м. Какая сила нужна, чтобы поднять груз 500 Н?
К гаечному ключу длиной 25 см перпендикулярно приложили силу 40 Н. Момент силы?
Какая сила нужна, чтобы поднять груз 60 кг подвижным блоком (блок невесом, трения нет)?
Шары 1 кг и 3 кг на концах невесомого стержня длиной 40 см. На каком расстоянии от шара 1 кг центр тяжести?
Сила, нужная, чтобы без трения втащить груз 100 кг по наклонной плоскости длиной 5 м и высотой 1 м?
Чему равен момент силы, линия действия которой проходит через ось?
В каком равновесии находится карандаш, стоящий на острие?
Однородный стержень массой 4 кг и длиной 1 м опирается серединой; в 0,1 м от одного конца подвешен груз 2 кг. Какой груз нужно подвесить на другой конец для равновесия?
Типичные ошибки
Брать за плечо расстояние от оси до точки приложения силы: нужно перпендикулярное расстояние.
Записывать только одно условие равновесия: тело не должно ни сдвигаться, ни поворачиваться.
Прикладывать вес однородного стержня к концу, а не к середине.
Думать, что простой механизм даёт выигрыш и в работе.
Не учитывать знаки моментов (направление вращения).