Силы тяготения, упругости, трения

Чтобы применять законы Ньютона, нужно точно знать, какие силы действуют на тело. В задачах механики решающую роль играют три силы: сила тяжести, сила упругости и сила трения. У каждой своя природа, своя формула и свои «подводные камни». Тема — основа для того, чтобы правильно изображать и вычислять силы в задачах на законы Ньютона, статику, энергию и колебания.

§1. Сила и равнодействующая

Сила — мера действия одного тела на другое; именно сила изменяет скорость тела (сообщает ускорение) или деформирует его.

• Сила — вектор: у неё есть модуль, направление и точка приложения.
• Единица — ньютон (Н): 1 Н = 1 кг·м/с² — сила, сообщающая телу массой 1 кг ускорение 1 м/с².
• Силу измеряют динамометром (в его основе пружина — закон Гука).

Если на тело действуют несколько сил, их можно заменить одной равнодействующей — векторной суммой сил. Силы одного направления складываются, противоположные вычитаются, для взаимно перпендикулярных сил R = √(F₁² + F₂²). Например, равнодействующая перпендикулярных сил 3 Н и 4 Н равна 5 Н.

При решении задачи сначала выделите тело и изобразите все действующие на него силы: тяжести, реакции опоры, натяжения нити, трения, внешнюю тягу. Затем выберите оси и запишите второй закон Ньютона в проекциях.

§2. Сила тяжести и вес тела

Земля притягивает все тела:

Сила тяжести всегда направлена вертикально вниз и приложена к центру тяжести тела. Это частный случай силы всемирного тяготения у поверхности Земли.

Вес тела P — другая сила: сила, с которой тело давит на опору или растягивает подвес; она приложена к опоре (подвесу). Для покоящегося или равномерно движущегося тела P = mg, а при движении с ускорением вес отличается:

• лифт поднимается с ускорением вверх: P = m(g + a) — перегрузка;
• опускается с ускорением вниз: P = m(g − a);
• при свободном падении (a = g): P = 0 — невесомость. Космонавты на орбите тоже всё время находятся в состоянии свободного падения.

Пример

Человек массой 60 кг в лифте. Что покажут весы, когда лифт движется с ускорением 2 м/с² вверх и вниз?

1. Вверх: P = m(g + a) = 60·(10 + 2) = 720 Н.
2. Вниз: P = m(g − a) = 60·(10 − 2) = 480 Н.
3. В покое было бы P = mg = 600 Н.

§3. Сила упругости и закон Гука

При деформации тела (растяжении, сжатии, изгибе) расстояния между его частицами меняются, и возникает сила упругости, стремящаяся восстановить форму. Её природа — электромагнитная (взаимодействие атомов).

• Сила направлена против деформации (в проекции F = −kx).
• Δx — деформация, то есть изменение длины, а не длина пружины.
• Закон выполняется только при малых упругих деформациях (исчезающих после снятия нагрузки).

Соединение пружин:

Если пружину разрезать пополам, жёсткость каждой половины будет 2k.

Сила реакции опоры N и сила натяжения нити T — тоже силы упругости: N перпендикулярна поверхности, T направлена вдоль нити.

Пример

К пружине жёсткостью 200 Н/м подвесили груз 0,5 кг. На сколько она растянется?

1. В равновесии kΔx = mg.
2. Δx = mg/k = 0,5·10/200 = 0,025 м = 2,5 см.

§4. Сила трения

Между соприкасающимися поверхностями возникает сила, препятствующая движению, — трение. Его причина — зацепление неровностей поверхностей и притяжение молекул.

• Трение покоя — пока тело не сдвинулось, оно равно внешней силе и противоположно ей; меняется от 0 до наибольшего значения μN.
• Трение скольжения направлено против движения:

μ — коэффициент трения (безразмерный); зависит от материала и гладкости поверхностей и почти не зависит от площади соприкосновения. На горизонтальной поверхности N = mg, но если тянуть или толкать под углом, N меняется!

• Трение качения намного меньше трения скольжения — поэтому изобрели колесо и подшипники. Смазка тоже уменьшает трение.

Трение не всегда вредно: без него нельзя было бы ходить, а автомобиль не смог бы ни тронуться, ни затормозить.

Пример

Заторможенный автомобиль оставил на дороге след длиной 25 м, μ = 0,45. Какой была начальная скорость?

1. Ускорение создаёт только трение: μmg = ma → a = μg = 4,5 м/с².
2. v₀² = 2as = 2·4,5·25 = 225.
3. v₀ = 15 м/с (54 км/ч).

Пример

Ящик массой 10 кг тянут силой 50 Н под углом 30° к горизонту, μ = 0,2. Найдите ускорение.

1. Вертикальная составляющая силы немного приподнимает ящик: N = mg − F·sin 30° = 100 − 25 = 75 Н.
2. Трение: F_тр = μN = 0,2·75 = 15 Н; горизонтальная тяга: F·cos 30° ≈ 43,3 Н.
3. a = (43,3 − 15)/10 ≈ 2,8 м/с².

§5. Наклонная плоскость

Для тела на наклонной плоскости с углом α оси берут вдоль плоскости и перпендикулярно ей и раскладывают силу тяжести на две составляющие:

• Скольжение без трения: a = g·sin α.
• Скольжение вниз с трением: a = g(sin α − μ·cos α).
• Тело покоится, если tg α ≤ μ — так измеряют μ на опыте.
• Чтобы равномерно тянуть тело вверх вдоль плоскости: F = mg(sin α + μ·cos α).

Пример

Тело соскальзывает с наклонной плоскости 30° при μ = 0,2. Ускорение?

1. sin 30° = 0,5, cos 30° ≈ 0,87.
2. a = g(sin α − μcos α) = 10·(0,5 − 0,2·0,87).
3. a ≈ 3,3 м/с².

Проверьте себя

1. Пружина растянулась на 2 см под действием силы 4 Н. Жёсткость?

2. Две пружины жёсткостью по 100 Н/м соединены последовательно. Общая жёсткость?

3. Чтобы равномерно тянуть ящик массой 10 кг по горизонтали, нужна сила 30 Н. Коэффициент трения?

4. На тело массой 5 кг на столе действует горизонтальная сила 5 Н, μ = 0,2. Сила трения?

5. Ускорение на гладкой наклонной плоскости 30°?

6. Каким должен быть μ, чтобы тело покоилось на плоскости 45°?

7. Человек массой 50 кг в свободно падающем лифте. Его вес?

8. Силы 3 Н и 4 Н взаимно перпендикулярны. Равнодействующая?

Типичные ошибки

• Всегда считать трение равным μmg: на наклонной плоскости μmg·cos α, а у покоящегося тела оно равно внешней силе.
• Путать формулы последовательного и параллельного соединения пружин.
• Подставлять в закон Гука длину пружины вместо удлинения Δx.
• Всегда считать N = mg.
• Отождествлять силу тяжести и вес: они приложены к разным телам и при ускорении различаются.