Кинематика описывает движение, а динамика изучает его причину — силу. Три закона Ньютона (1687 год, «Математические начала натуральной философии») — ключ почти к любой задаче механики: если правильно изобразить силы, действующие на тело, и записать второй закон в проекциях, половина задачи уже решена. Эти законы работают от автомобилей и лифтов до движения планет и лежат в основе тем об энергии, импульсе и колебаниях.
§1. Первый закон — закон инерции
Со времён Аристотеля считали, что для продолжения движения нужна сила. Опыты Галилея это опровергли: шар, катящийся по гладкой поверхности, почти не останавливается — его останавливает трение.
Если на тело не действуют силы или действующие силы уравновешены, оно покоится или движется прямолинейно и равномерно.
Свойство тела сохранять скорость — инерция. Пассажиры, подающиеся вперёд при торможении автобуса, пыль, отделяющаяся от выбиваемого ковра, — проявления инерции.
Системы отсчёта, в которых выполняется первый закон, — инерциальные. Систему, связанную с Землёй, в большинстве задач считают инерциальной. Система ускоряющегося автобуса или вращающейся карусели — неинерциальная.
Если равнодействующая равна нулю, ускорение равно нулю — скорость постоянна. Значит, у равномерно движущегося автомобиля сила тяги уравновешена силами сопротивления.
§2. Масса и сила
Масса — мера инертности тела: скорость массивного тела изменить труднее. Единица — килограмм (кг). Масса скалярна и аддитивна: масса тела равна сумме масс его частей. Сила — мера действия других тел, вектор; единица — ньютон (Н). Одна и та же сила сообщает малой массе большое ускорение, а большой массе — малое. При взаимодействии двух тел их ускорения обратно пропорциональны массам: a₁/a₂ = m₂/m₁.
§3. Второй закон
a⃗ = F⃗_равн/m, то есть F⃗_равн = ma⃗
F_равн — векторная сумма всех сил, действующих на тело.
Ускорение всегда направлено по равнодействующей (не обязательно по скорости).
1 Н — сила, сообщающая телу массой 1 кг ускорение 1 м/с².
Общая форма второго закона через импульс: FΔt = Δ(mv).
Алгоритм решения:
Для каждого тела изобразите действующие на него силы: тяжести, натяжения, реакции опоры, трения, внешнюю силу.
Выберите оси — одну по направлению ускорения.
Запишите ΣF = ma в проекциях на каждую ось.
Решите систему уравнений и проверьте ответ по единицам и смыслу.
Пример
На тело массой 5 кг на гладкой поверхности действуют горизонтальные силы 20 Н и 55 Н. Каково наименьшее возможное ускорение?
Равнодействующая наименьшая, когда силы направлены противоположно: 55 − 20 = 35 Н.
Тело массой 4 кг из состояния покоя за 3 с набрало скорость 6 м/с. Какая равнодействующая на него действовала?
a = (v − v₀)/t = 6/3 = 2 м/с².
F = ma = 4·2 = 8 Н.
§4. Третий закон
Два тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению: F⃗₁₂ = −F⃗₂₁
Эти силы приложены к разным телам, поэтому не уравновешивают друг друга.
Они одной природы: обе — силы тяготения, или обе — силы упругости и т. д.
Лошадь тянет телегу, телега тянет лошадь с той же силой; лошадь идёт вперёд, потому что её копыта получают от земли силу трения, направленную вперёд. Ракета отталкивает газ назад, газ толкает ракету вперёд.
Книга на столе: парная сила к силе тяжести (Земля притягивает книгу) — притяжение Земли книгой; парная к силе реакции опоры — давление книги на стол (её вес).
§5. Связанные тела
Тела, связанные нитью (невесомой и нерастяжимой), движутся с одинаковым ускорением, натяжение нити всюду одинаково. Для каждого тела пишут своё уравнение или рассматривают всю систему как одно тело (внутренние силы — натяжение нити — при этом сокращаются).
Связанные тела на горизонтальной поверхности: при тяге силой F ускорение a = F/(m₁ + m₂), а натяжение нити разгоняет заднее тело: T = m₁a.
Два груза на блоке (машина Атвуда):
a = (m₂ − m₁)g/(m₁ + m₂), T = 2m₁m₂g/(m₁ + m₂)
На ось неподвижного блока действует сила 2T.
Пример
На гладком столе лежат связанные нитью тела 2 кг и 3 кг; тело 3 кг тянут горизонтальной силой 10 Н. Ускорение и натяжение нити?
Вся система: a = F/(m₁ + m₂) = 10/5 = 2 м/с².
Для заднего тела 2 кг: T = m₁a = 2·2 = 4 Н.
Пример
Через блок перекинута нить с грузами весом P и 20 Н. За 2,5 с груз 20 Н опустился на 6,25 м. Найдите ускорение и силу, действующую на ось блока.
s = at²/2 → a = 2s/t² = 12,5/6,25 = 2 м/с².
Для груза 20 Н (m = 2 кг): mg − T = ma → T = 2·(10 − 2) = 16 Н.
На ось блока: 2T = 32 Н.
§6. Границы применимости законов Ньютона
Механика Ньютона (классическая механика) даёт точные результаты в очень широкой области: расчёт машин и сооружений, движения автомобилей и самолётов, орбит спутников и планет. Но у неё есть границы:
при скоростях, близких к скорости света, нужна специальная теория относительности;
явления внутри атомов и молекул описывает квантовая механика;
в своём виде законы выполняются только в инерциальных системах; в неинерциальной системе вводят силы инерции.
При обычных скоростях и размерах эти поправки так малы, что ими можно пренебречь.
Пример
К ящику массой 5 кг на горизонтальном столе приложили горизонтальную силу 20 Н, коэффициент трения 0,2. Найдите ускорение.
Сила трения: F_тр = μmg = 0,2·5·10 = 10 Н.
Равнодействующая: 20 − 10 = 10 Н.
a = 10/5 = 2 м/с².
Проверьте себя
На тело массой 2 кг действует равнодействующая 10 Н. Ускорение?
Человек массой 60 кг поднимается в лифте с ускорением 2 м/с². Его вес?
Грузы 1 кг и 3 кг подвешены на неподвижном блоке. Ускорение?
Какая сила по третьему закону является парной к силе тяжести книги, лежащей на столе?
Равнодействующая сил, действующих на автомобиль с постоянной скоростью?
Грузы 1 кг и 3 кг подвешены на блоке. Натяжение нити?
Под действием одной и той же силы тело 2 кг получило ускорение 6 м/с². Какое ускорение получит тело 3 кг?
Куда направлено ускорение: по скорости или по равнодействующей силе?
Типичные ошибки
Прикладывать пару сил третьего закона к одному телу и говорить, что «силы компенсируют друг друга».
Приравнивать ma одной силе вместо равнодействующей.
Путать силу тяжести (mg, от Земли к телу) и вес (P, от тела к опоре).
Учитывать в лифте направление движения вместо направления ускорения.
Думать, что раз есть движение, обязательно есть сила: для постоянной скорости равнодействующая не нужна.