Вращательное движение

Движение по окружности встречается повсюду: колёса, зубчатые передачи, центрифуга, карусель, искусственные спутники Земли, электрон в магнитном поле. В таком движении, даже если модуль скорости не меняется, её направление меняется непрерывно — значит, есть ускорение и есть вызывающая его сила. Тема продолжает кинематику прямолинейного движения и необходима для задач динамики, тяготения, движения планет и движения заряда в магнитном поле.

§1. Величины, описывающие вращение

Простейший случай — равномерное движение по окружности: тело за равные промежутки времени проходит равные дуги.

• Период T — время одного полного оборота (с). Если N оборотов совершено за время t: T = t/N.
• Частота ν = 1/T = N/t — число оборотов в секунду (Гц или с⁻¹). В технике часто используют «обороты в минуту»: 1200 об/мин = 20 Гц.
• Угол поворота φ измеряют в радианах: отношение длины дуги к радиусу, φ = l/R. Полный оборот — 2π рад = 360°, 1 рад ≈ 57,3°.
• Угловая скорость ω — угол поворота за единицу времени:

§2. Линейная скорость

Линейная скорость — скорость движения точки по окружности. В каждый момент она направлена по касательной к окружности: искры от точильного круга и грязь с вращающегося колеса летят именно по касательной.

Все точки одного твёрдого тела (диск, колесо, Земля) вращаются с одинаковой ω, но линейная скорость пропорциональна радиусу: точка на краю движется быстрее, а точка на оси покоится.

Пример

Найдите линейную скорость и центростремительное ускорение точки на экваторе Земли (R = 6,4·10⁶ м, T = 24 ч).

1. T = 24·3600 = 86 400 с.
2. v = 2πR/T = 2·3,14·6,4·10⁶/86 400 ≈ 465 м/с.
3. a = ω²R = (2π/86 400)²·6,4·10⁶ ≈ 0,034 м/с² — примерно в 300 раз меньше g, поэтому вращение Земли мы почти не ощущаем.

§3. Центростремительное ускорение

Модуль вектора скорости не меняется, но его направление всё время поворачивается. За малое время Δt изменение скорости Δv⃗ направлено к центру окружности; значит, и ускорение направлено к центру — это центростремительное (нормальное) ускорение:

• При равномерном вращении это единственное ускорение; оно перпендикулярно скорости и не меняет её модуль.
• При одинаковой v чем меньше радиус, тем больше ускорение: крутой поворот опасен.
• При одинаковой ω (точки одного тела) ускорение пропорционально R.

Если меняется и модуль скорости, кроме центростремительного появляется касательное ускорение a_τ = Δv/Δt; полное ускорение a = √(a_n² + a_τ²).

Пример

Колесо радиусом 0,5 м делает 4 оборота за 2 с. Найдите v и a точки на ободе.

1. T = 2/4 = 0,5 с, ω = 2π/T = 4π ≈ 12,6 рад/с.
2. v = ωR = 4π·0,5 = 2π ≈ 6,3 м/с.
3. a = ω²R = 16π²·0,5 ≈ 79 м/с².

§4. Динамика движения по окружности

По второму закону Ньютона центростремительное ускорение сообщает направленная к центру равнодействующая сила: F = ma = mv²/R. Это не отдельная «новая» сила — её роль играют натяжение нити, сила тяжести, сила реакции, трение или сила тяготения. «Центробежную силу» вводят только во вращающейся (неинерциальной) системе отсчёта; в инерциальной системе её нет.

Схема решения:

1. Изобразите все силы.
2. Спроецируйте их на ось, направленную к центру.
3. Запишите ΣF_к центру = mv²/R.

Типичные случаи:

• Груз на нити в вертикальной плоскости, нижняя точка: T − mg = mv²/R → T = m(g + v²/R). В верхней точке: T + mg = mv²/R; чтобы нить не провисла, v ≥ √(gR).
• Выпуклый мост, верхняя точка: mg − N = mv²/R — давление автомобиля на мост уменьшается; на вогнутом мосту — увеличивается.
• Горизонтальный поворот: автомобиль удерживает трение: μmg ≥ mv²/R → v_max = √(μgR).
• Наклон дороги: если на повороте дорогу наклонить внутрь, горизонтальная составляющая силы реакции тоже направлена к центру, и проехать можно даже без трения: tg α = v²/(gR). Поэтому велосипедист на повороте наклоняется внутрь.
• Искусственный спутник: центростремительная сила — сила тяготения Земли: GMm/r² = mv²/r, откуда v = √(GM/r).

Пример

Шар массой 0,9 кг на нити длиной 1,2 м вращается в вертикальной плоскости; в нижней точке v = 4 м/с. Натяжение нити?

1. v²/R = 16/1,2 ≈ 13,3 м/с².
2. T = m(g + v²/R) = 0,9·(10 + 13,3).
3. T = 21 Н — намного больше силы тяжести (9 Н).

Пример

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 50 м, коэффициент трения шин о дорогу μ = 0,5. Наибольшая безопасная скорость?

1. Трение создаёт центростремительную силу: μmg = mv²/R.
2. v_max = √(μgR) = √(0,5·10·50) = √250 ≈ 15,8 м/с ≈ 57 км/ч.

На этом же законе основаны центрифуга и отжим в стиральной машине: при быстром вращении барабана для удержания капель воды на белье нужна большая центростремительная сила, а силы сцепления не хватает — капли улетают по касательной через отверстия.

§5. Передачи и катящееся колесо

В ременной или зубчатой передаче при отсутствии проскальзывания линейные скорости точек на ободах двух колёс одинаковы:

Малое колесо вращается быстрее. Так работают велосипедная цепь, часовой механизм, коробка передач автомобиля. У колёс, закреплённых на одной оси, одинаковы угловые скорости.

Колесо, катящееся без проскальзывания: если ось движется поступательно со скоростью v, колесо вращается вокруг оси с ω = v/R. Точка касания с землёй в этот момент покоится, а верхняя точка имеет относительно земли скорость 2v.

Пример

Колёса, соединённые ремнём, имеют радиусы 10 см и 30 см. Малое вращается с частотой 6 Гц. Частота большого?

1. Линейные скорости на ободах равны: ν₁R₁ = ν₂R₂.
2. ν₂ = 6·10/30 = 2 Гц.

Проверьте себя

1. Диск делает 120 оборотов в минуту. Частота и период?

2. Угловая скорость конца минутной стрелки часов?

3. Автомобиль проходит поворот радиусом 100 м со скоростью 20 м/с. Центростремительное ускорение?

4. При какой скорости автомобиль окажется невесомым в верхней точке выпуклого моста радиусом 40 м?

5. Автомобиль массой 1000 кг проходит верхнюю точку выпуклого моста радиусом 40 м со скоростью 10 м/с. Сила давления на мост?

6. Радиус увеличили в 2 раза при той же ω. Как изменится центростремительное ускорение?

7. Ось катящегося колеса движется со скоростью 5 м/с. Скорость верхней точки колеса относительно земли?

8. Равно ли нулю ускорение при равномерном движении по окружности?

Типичные ошибки

• Считать, что при равномерном вращении ускорение равно нулю.
• Подставлять ω в об/с вместо рад/с, то есть забывать 2π.
• Писать в нижней точке T = mg − mv²/R: знак неверен, T = mg + mv²/R.
• Приравнивать в ременной передаче угловые скорости: равны линейные скорости.
• Рисовать в инерциальной системе ещё и «центробежную силу», учитывая силы дважды.