Прямолинейное движение

Кинематика изучает, как движется тело — где, с какой скоростью, за какое время, — но не спрашивает о причине движения (это задача динамики). Формулы прямолинейного движения — фундамент всей механики: они снова и снова используются в динамике, энергии, колебаниях и даже в задачах о частице в электрическом поле. Ученик, хорошо освоивший эту тему, в следующих разделах сможет не заучивать формулы, а выводить их логически.

§1. Основные понятия

• Механическое движение — изменение положения тела относительно других тел с течением времени.
• Материальная точка — тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь. Например, автомобиль, едущий из Ташкента в Самарканд, — материальная точка, а автомобиль, въезжающий в гараж, — нет.
• Система отсчёта = тело отсчёта + система координат + часы. Движение относительно: пассажир поезда покоится относительно вагона, но движется относительно Земли.
• Траектория — линия, которую описывает тело при движении.
• Путь s — длина траектории; скаляр, никогда не уменьшается.
• Перемещение — направленный отрезок от начальной точки к конечной; вектор.

У тела, обошедшего полный круг, путь 2πR, а перемещение равно нулю. При движении по прямой в одну сторону путь и модуль перемещения равны.

§2. Равномерное прямолинейное движение

Если тело за любые равные промежутки времени совершает равные перемещения, движение равномерное — скорость постоянна.

• vₓ — проекция скорости на ось: положительна при движении по оси и отрицательна при движении против неё.
• График x(t) — прямая, её наклон равен скорости; чем круче, тем больше скорость.
• График v(t) — горизонтальная линия, площадь под ней — пройденный путь.

Например, уравнение x = 100 − 5t означает, что тело начинает движение в 100 м от начала координат и движется против оси со скоростью 5 м/с; начала координат оно достигнет при t = 20 с.
Чтобы найти место и время встречи двух тел, приравнивают их уравнения: x₁(t) = x₂(t).

§3. Средняя скорость и сложение скоростей

При неравномерном движении средняя (путевая) скорость — отношение всего пути ко всему времени:

Это не среднее арифметическое скоростей! Если равные половины пути пройдены со скоростями v₁ и v₂:

А для равных половин времени v_ср = (v₁ + v₂)/2.

Сложение скоростей (Галилей): скорость тела относительно неподвижной системы = скорость относительно движущейся системы + скорость самой системы:

Относительная скорость двух поездов, идущих навстречу, равна v₁ + v₂, идущих в одну сторону — |v₁ − v₂|. Лодка по течению плывёт со скоростью v + u, против течения — v − u.

Пример

Автобус прошёл первую половину пути со скоростью 60 км/ч, вторую — 40 км/ч. Какова средняя скорость?

1. v_ср = 2v₁v₂/(v₁ + v₂) = 2·60·40/(60 + 40).
2. v_ср = 4800/100 = 48 км/ч (а не 50).

Пример

Поезда идут навстречу со скоростями 54 км/ч и 36 км/ч. За какое время пассажир одного поезда увидит, как мимо проходит второй поезд длиной 150 м?

1. Переводим в СИ: 15 м/с и 10 м/с.
2. Относительная скорость: 15 + 10 = 25 м/с.
3. t = 150/25 = 6 с.

§4. Равнопеременное движение

Если скорость за равные промежутки времени меняется одинаково, движение равнопеременное — ускорение постоянно:

При разгоне a направлено так же, как скорость, при торможении — противоположно (в проекции a < 0).

Третья формула очень удобна, когда время не дано, четвёртая — когда не дано ускорение. При движении из состояния покоя пути за последовательные равные промежутки времени относятся как 1 : 3 : 5 : 7 … (закон Галилея), путь за n-ю секунду:

Пример

Автомобиль, движущийся со скоростью v₀ = 10 м/с, тормозит с ускорением a = −2 м/с². Какой путь он пройдёт до остановки?

1. При остановке v = 0: 0 − v₀² = 2as.
2. s = v₀²/(2|a|) = 100/4 = 25 м.

§5. Графики движения

• График v(t) при равнопеременном движении — прямая; её наклон — ускорение, площадь под ней — путь (перемещение).
• График x(t) — парабола: при разгоне выпуклостью вниз («загибается вверх»), при торможении — выпуклостью вверх.
• График a(t) — горизонтальная линия; площадь под ним — изменение скорости.

В задачах с графиками площадь удобно разбивать на треугольники и прямоугольники.

Пример

Тело из состояния покоя 5 с равномерно разгонялось до 10 м/с, затем 5 с двигалось с постоянной скоростью. Общий путь?

1. Первый участок (треугольник): s₁ = 5·10/2 = 25 м.
2. Второй участок (прямоугольник): s₂ = 10·5 = 50 м.
3. s = 25 + 50 = 75 м.

§6. Свободное падение и вертикальный бросок

Без сопротивления воздуха все тела падают с одинаковым ускорением: g ≈ 9,8 ≈ 10 м/с² (Галилей). Свободное падение — частный случай равноускоренного движения, поэтому формулы §4 работают с a = g.

• Падение вниз: h = v₀t + gt²/2, v = v₀ + gt; из состояния покоя: t = √(2h/g).
• Бросок вверх: время подъёма t = v₀/g, наибольшая высота h = v₀²/(2g); скорость при возвращении равна начальной, время падения равно времени подъёма.
• В верхней точке скорость равна нулю, но ускорение равно g — не нулю!

Пример

Тело, брошенное вниз с высоты 175 м, за 2-ю секунду прошло 25 м. Найдите начальную скорость и путь за первые 4 с.

1. s₂ = v₀ + g(2·2 − 1)/2 = v₀ + 15.
2. v₀ + 15 = 25 → v₀ = 10 м/с.
3. s(4) = 10·4 + 10·16/2 = 40 + 80 = 120 м — меньше 175 м, значит, тело ещё не долетело до земли.

Проверьте себя

1. Тело из состояния покоя за 5 с набрало скорость 20 м/с. Ускорение?

2. Какой путь тело прошло за эти 5 с?

3. Камень брошен вверх со скоростью 20 м/с. Наибольшая высота?

4. Тело падает без начальной скорости с высоты 45 м. Время падения?

5. При равноускоренном движении из покоя за 1-ю секунду пройдено 2 м. А за 3-ю?

6. Велосипедист проехал 50 м за 10 с и 250 м за следующие 20 с. Средняя скорость?

7. Скорость лодки относительно воды 5 м/с, течения 1 м/с. Скорость относительно берега против течения?

8. Чему равно ускорение тела, брошенного вверх, в верхней точке?

Типичные ошибки

• Считать среднюю скорость средним арифметическим скоростей.
• Забывать знак ускорения при торможении.
• Путать путь и перемещение.
• Подставлять скорость в км/ч без перевода в м/с (1 м/с = 3,6 км/ч).
• Путать «путь за n-ю секунду» и «путь за n секунд».
• Думать, что в верхней точке ускорение тоже равно нулю.